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| − | * 타원곡선 <math>E=\mathbb{C}/\Lambda</math>, <math>\Lambda=\{m_ 1+m_ 2\tau)|m_ 1,m_ 2\in\mathbb{Z}\}</math> 가 주어졌다고 하자 | + | * 타원곡선 <math>E=\mathbb{C}/\Lambda</math>, <math>\Lambda=\{m_ 1+m_ 2\tau)|m_ 1,m_ 2\in\mathbb{Z}\}</math> 가 주어졌다고 하자 |
| − | ** 여기서 <math>\Im\tau >0</math>를 가정 | + | ** 여기서 <math>\Im\tau >0</math>를 가정 |
| − | * <math>\alpha\in\mathbb{Z}</math>에 대하여, <math>\alpha\tau \in\Lambda</math> 이므로 <math>\mathbb{Z}\subset \ | + | * <math>\alpha\in\mathbb{Z}</math>에 대하여, <math>\alpha\tau \in\Lambda</math> 이므로 <math>\mathbb{Z}\subset \operatorname{End}({E})</math> 가 성립한다 |
| − | * 일반적인 타원곡선의 경우, <math>\ | + | * 일반적인 타원곡선의 경우, <math>\operatorname{End}({E})=\mathbb{Z}</math> 가 성립한다 |
| − | * <math>\ | + | * <math>\operatorname{End}({E})\neq \mathbb{Z}</math>인 경우, 즉 <math>\operatorname{End}({E})</math>가 <math>\mathbb{Z}</math>를 진부분집합으로 포함하는 경우, 타원곡선 <math>E</math>가 complex multiplication을 갖는다고 말한다 |
| − | * <math>E=\mathbb{C}/\Lambda</math>, <math>\Lambda=\{m_ 1+m_ 2\tau)|m_ 1,m_ 2\in\mathbb{Z}\}</math>에 대해서 <math>E</math>가 complex multiplication을 갖는다고 가정하자:<math>\alpha\in\ | + | * <math>E=\mathbb{C}/\Lambda</math>, <math>\Lambda=\{m_ 1+m_ 2\tau)|m_ 1,m_ 2\in\mathbb{Z}\}</math>에 대해서 <math>E</math>가 complex multiplication을 갖는다고 가정하자:<math>\alpha\in\operatorname{End}({E})-\mathbb{Z}</math>가 존재하여, <math>\alpha\cdot 1 \in\Lambda</math>이므로, <math>\alpha=m+n\tau</math> (<math>n \neq 0 </math>)꼴로 쓰여진다 |
| + | * 한편 <math>\alpha\tau \in\Lambda</math>가 성립하므로, <math>\alpha\tau=(m+n\tau)\tau=p+q\tau</math> 꼴로 쓰여지게 된다. 여기서 <math>m, n, p, q</math>는 모두 정수. | ||
| + | * 따라서 <math>n\tau^2-(m-q)\tau-p=0</math>이 만족된다. | ||
| + | * 그러므로, 타원곡선 <math>E</math>가 complex multiplication을 가질 경우, <math>\tau</math> 는 정수계수 이차방정식을 만족시키는 복소수가 된다 | ||
==역사== | ==역사== | ||
2014년 5월 2일 (금) 01:29 판
개요
uniformization
- 두 복소수 \(\omega_1,\omega_2\)에 의해 생성되는 2차원 격자\[\Lambda=\{m_ 1\omega_1+m_ 2\omega_2)|m_ 1,m_ 2\in\mathbb{Z}\}\]
- 격자로부터 타원곡선 \(E=\mathbb{C}/\Lambda\)를 얻는다
isogeny
- 두 타원곡선 사이에 정의된 타원곡선의 항등원을 보존하는 유리함수 \(\phi : E_ 1 \to E_ 2\)를 isogeny 라 한다
- 타원곡선이 \(E=\mathbb{C}/\Lambda\)로 주어지는 경우 모든 isogeny \(\phi : E \to E\) 의 집합 \(\text{End}({E})\) 는 환의 구조를 가지며,\(\text{End}({E})\simeq \{\alpha\in \mathbb{C}|\alpha\Lambda \subset \Lambda\}\)가 성립한다
complex multiplication
- 타원곡선 \(E=\mathbb{C}/\Lambda\), \(\Lambda=\{m_ 1+m_ 2\tau)|m_ 1,m_ 2\in\mathbb{Z}\}\) 가 주어졌다고 하자
- 여기서 \(\Im\tau >0\)를 가정
- \(\alpha\in\mathbb{Z}\)에 대하여, \(\alpha\tau \in\Lambda\) 이므로 \(\mathbb{Z}\subset \operatorname{End}({E})\) 가 성립한다
- 일반적인 타원곡선의 경우, \(\operatorname{End}({E})=\mathbb{Z}\) 가 성립한다
- \(\operatorname{End}({E})\neq \mathbb{Z}\)인 경우, 즉 \(\operatorname{End}({E})\)가 \(\mathbb{Z}\)를 진부분집합으로 포함하는 경우, 타원곡선 \(E\)가 complex multiplication을 갖는다고 말한다
- \(E=\mathbb{C}/\Lambda\), \(\Lambda=\{m_ 1+m_ 2\tau)|m_ 1,m_ 2\in\mathbb{Z}\}\)에 대해서 \(E\)가 complex multiplication을 갖는다고 가정하자\[\alpha\in\operatorname{End}({E})-\mathbb{Z}\]가 존재하여, \(\alpha\cdot 1 \in\Lambda\)이므로, \(\alpha=m+n\tau\) (\(n \neq 0 \))꼴로 쓰여진다
- 한편 \(\alpha\tau \in\Lambda\)가 성립하므로, \(\alpha\tau=(m+n\tau)\tau=p+q\tau\) 꼴로 쓰여지게 된다. 여기서 \(m, n, p, q\)는 모두 정수.
- 따라서 \(n\tau^2-(m-q)\tau-p=0\)이 만족된다.
- 그러므로, 타원곡선 \(E\)가 complex multiplication을 가질 경우, \(\tau\) 는 정수계수 이차방정식을 만족시키는 복소수가 된다
역사
메모
- http://math.stackexchange.com/questions/762947/why-say-complex-multiplication-of-elliptic-curves-is-beautiful/766824#766824
- ASPECTS OF COMPLEX MULTIPLICATION http://www.cems.uvm.edu/~voight/notes/274-Zagier.pdf
관련된 항목들
- 바이어슈트라스의 타원함수
- 모듈라 군, j-invariant and the singular moduli
- 제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)
- 타원적분의 singular value k
- 정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)
- Chowla-셀베르그 공식
사전 형태의 자료
관련논문
- Kaltofen, Erich, and Noriko Yui. 1984. “Explicit Construction of the Hilbert Class Fields of Imaginary Quadratic Fields with Class Numbers 7 and 11.” In EUROSAM 84, ed. John Fitch, 174:310–320. Lecture Notes in Computer Science. Springer Berlin / Heidelberg. http://www.springerlink.com/content/54465w2t0r14h53m/abstract/.
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://dx.doi.org/