"Complex multiplication"의 두 판 사이의 차이

2014년 5월 15일 (목) 06:36 판

두 복소수 \(\omega_1,\omega_2\)에 의해 생성되는 2차원 격자\[\Lambda=\{m_ 1\omega_1+m_ 2\omega_2)|m_ 1,m_ 2\in\mathbb{Z}\}\]
격자로부터 타원곡선 \(E=\mathbb{C}/\Lambda\)를 얻는다

두 타원곡선 사이에 정의된 타원곡선의 항등원을 보존하는 유리함수 \(\phi : E_ 1 \to E_ 2\)를 isogeny 라 한다
타원곡선이 \(E=\mathbb{C}/\Lambda\)로 주어지는 경우 모든 isogeny \(\phi : E \to E\) 의 집합 \(\text{End}({E})\) 는 환의 구조를 가지며,\(\text{End}({E})\simeq \{\alpha\in \mathbb{C}|\alpha\Lambda \subset \Lambda\}\)가 성립한다

타원곡선 \(E=\mathbb{C}/\Lambda\), \(\Lambda=\{m_ 1+m_ 2\tau)|m_ 1,m_ 2\in\mathbb{Z}\}\) 가 주어졌다고 하자
- 여기서 \(\Im\tau >0\)를 가정
\(\alpha\in\mathbb{Z}\)에 대하여, \(\alpha\tau \in\Lambda\) 이므로 \(\mathbb{Z}\subset \operatorname{End}({E})\) 가 성립한다
일반적인 타원곡선의 경우, \(\operatorname{End}({E})=\mathbb{Z}\) 가 성립한다
\(\operatorname{End}({E})\neq \mathbb{Z}\)인 경우, 즉 \(\operatorname{End}({E})\)가 \(\mathbb{Z}\)를 진부분집합으로 포함하는 경우, 타원곡선 \(E\)가 complex multiplication을 갖는다고 말한다
\(E=\mathbb{C}/\Lambda\), \(\Lambda=\{m_ 1+m_ 2\tau)|m_ 1,m_ 2\in\mathbb{Z}\}\)에 대해서 \(E\)가 complex multiplication을 갖는다고 가정하자\[\alpha\in\operatorname{End}({E})-\mathbb{Z}\]가 존재하여, \(\alpha\cdot 1 \in\Lambda\)이므로, \(\alpha=m+n\tau\) (\(n \neq 0 \))꼴로 쓰여진다
한편 \(\alpha\tau \in\Lambda\)가 성립하므로, \(\alpha\tau=(m+n\tau)\tau=p+q\tau\) 꼴로 쓰여지게 된다. 여기서 \(m, n, p, q\)는 모두 정수.
따라서 \(n\tau^2-(m-q)\tau-p=0\)이 만족된다.
그러므로, 타원곡선 \(E\)가 complex multiplication을 가질 경우, \(\tau\) 는 정수계수 이차방정식을 만족시키는 복소수가 된다

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 * 따라서 <math>n\tau^2-(m-q)\tau-p=0</math>이 만족된다.
 * 그러므로, 타원곡선 <math>E</math>가 complex multiplication을 가질 경우,  <math>\tau</math> 는 정수계수 이차방정식을 만족시키는 복소수가 된다
 ==역사==
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 ==관련된 항목들==
-* [[바이어슈트라스 타원함수 ℘|바이어슈트라스의 타원함수]]<br>
+* [[바이어슈트라스 타원함수 ℘|바이어슈트라스의 타원함수]]
-* [[모듈라 군, j-invariant and the singular moduli]]<br>
+* [[모듈라 군, j-invariant and the singular moduli]]
-* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]<br>
+* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]
-* [[타원적분의 singular value k]]<br>
+* [[타원적분의 singular value k]]
-* [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]]<br>
+* [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]]
-* [[Chowla-셀베르그 공식]]<br>
+* [[Chowla-셀베르그 공식]]
+* [[복소곱을 갖는 타원곡선과 singular moduli 강의노트]]