Complex multiplication

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 5월 27일 (목) 06:35 판
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개요

 

 

uniformization
  • 두 복소수 \(\omega_1,\omega_2\)에 의해 생성되는 2차원 격자
    \(\Lambda=\{m_1\omega_1+m_2\omega_2)|m_1,m_2\in\mathbb{Z}\}\)
  • 격자로부터 타원곡선 \(E=\mathbb{C}/\Lambda\)를 얻는다

 

 

isogeny
  • 두 타원곡선 사이에 정의된 타원곡선의 항등원을 보존하는 유리함수 \(\phi : E_1 \to E_2\)를 isogeny 라 한다
  • 타원곡선이  \(E=\mathbb{C}/\Lambda\)로 주어지는 경우 모든 isogeny \(\phi : E \to E\) 의 집합 \(\text{End}({E})\) 는 환의 구조를 가지며,\(\text{End}({E})\simeq \{\alpha\in \mathbb{C}|\alpha\Lambda \subset \Lambda\}\)가 성립한다

 

 

complex multiplication
  • 타원곡선  \(E=\mathbb{C}/\Lambda\), \(\Lambda=\{m_1+m_2\tau)|m_1,m_2\in\mathbb{Z}\}\) 가 주어졌다고 하자
    • 여기서 \(\Im\tau >0\)를 가정
  • \(\alpha\in\mathbb{Z}\)에 대하여, \(\alpha\tau \in\Lambda\) 이므로 \(\mathbb{Z}\subset \text{End}({E})\) 가 성립한다
  • 일반적인 타원곡선의 경우, \(\text{End}({E})=\mathbb{Z}\) 가 성립한다
  •  \(\text{End}({E})\neq \mathbb{Z}\)인 경우, 즉  \(\text{End}({E})\)가 \(\mathbb{Z}\)를 진부분집합으로 포함하는 경우, 타원곡선 \(E\)가 complex multiplication을 갖는다고 말한다
  • \(E=\mathbb{C}/\Lambda\), \(\Lambda=\{m_1+m_2\tau)|m_1,m_2\in\mathbb{Z}\}\)에 대해서 \(E\)가 complex multiplication을 갖는다고 가정하자
    \(\alpha\in\text{End}({E})-\mathbb{Z}\)가 존재하여, \(\alpha\cdot 1 \in\Lambda\)이므로, \(\alpha=m+n\tau\) (\(n\neq 0 \))꼴로 쓰여진다
    한편 \(\alpha\tau \in\Lambda\)가 성립하므로, \(\alpha\tau=(m+n\tau)\tau=p+q\tau\) 꼴로 쓰여지게 된다. 여기서 \(m, n, p, q\)는 모두 정수. 
     따라서 \(n\tau^2-(m-q)\tau-p=0\)이 만족된다.
    그러므로, 타원곡선 \(E\)가 complex multiplication을 가질 경우,  \(\tau\) 는 정수계수 이차방정식을 만족시키는 복소수가 된다

 

 

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