리대수 sl(2,C)의 유한차원 표현론

수학노트
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개요

  • 복소수 체 위에 정의된 리대수 <math>\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})</math>의 유한차원 표현론
  • 각 <math>m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math> 에 대하여, <math>m+1</math> 차원 기약표현 <math>V(m)</math>가 존재하며, 모든 유한차원 기약표현이 이러한 형태로 얻어진다


리대수 <math>\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})</math>

  • 3차원 리대수의 기저
<math>E=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}</math> :<math>F=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}</math> :<math>H=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}</math>
  • <math>L=\langle E,F,H \rangle</math>
  • 교환자
<math>[E,F]=H</math>:<math>[H,E]=2E</math>:<math>[H,F]=-2F</math>
  • 카르탄 행렬 <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix}</math>
  • 루트 시스템 <math>\Phi=\{\alpha,-\alpha\}</math>
  • universal enveloping algebra의 PBW 기저 <math>\{F^kH^lE^m|k,l,m\geq 0\}</math>


highest weight representation

  • <math>V</math> :유한차원인 기약표현
  • <math>V=\oplus_{\lambda\in\mathbb{C}}V_{\lambda}</math>, <math>V_{\lambda}=\{v\in V|Hv=\lambda v\}</math>
  • <math>\lambda\in \mathbb{C}</math> 에 대하여, 다음의 조건을 만족하는 highest weight vector <math>v_0</math> 를 정의
<math>Ev_0=0</math>
<math>Hv_0=\lambda v_0</math>
  • <math>v_j:=\frac{F^j}{j!}v_0</math> 로 정의하면, 다음 관계가 만족된다
<math>H v_j=(\lambda -2j)v_j</math>
<math>F v_j=(j+1)v_{j+1}</math>
<math>E v_j=(\lambda -j+1)v_{j-1}</math>
  • <math>\{v_j|j\geq 0\}</math> 가 생성하는 벡터공간이 유한차원인 <math>\mathfrak{g}</math>-모듈이 되려면, <math>\lambda\in\mathbb{Z}, \lambda\geq 0</math> 이 만족되어야 한다


유한차원 기약표현의 분류

  • 각 <math>m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math> 에 대하여, <math>m+1</math> 차원 기약표현 <math>V(m)</math>가 존재한다
  • 모든 유한차원 기약표현 <math>V</math>에 대하여 적당한 <math>m\geq 0</math>이 존재하여 <math>V\simeq V(m)</math>이 성립
  • <math>V(m)</math>으로 생성되는 환의 구조에 대해서는 클렙시-고단 법칙 (Clebsch-Gordan rule) 항목 참조


지표 (character)

  • weight과 바일 벡터
<math>\omega=\frac{1}{2}\alpha, \rho=\omega</math>
  • 지표는 다음과 같다
<math>\operatorname{ch}V(k)=\frac{e^{(k+1)\omega}-e^{-(k+1)\omega}}{e^{\omega}-e^{-\omega}}=e^{k\omega}+e^{(k-2)\omega}+\cdots+e^{-k\omega}</math>
<math>\frac{e^{i(k+1)\theta}-e^{-i(k+1)\theta}}{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}= \frac{\sin (k+1)\theta}{\sin \theta}=U_k(\cos\theta)</math>


<math>\operatorname{Sym}^j V(k)</math>와 <math>\Lambda^{j}V(k)</math>의 지표

  • [GW1998]


<math>\operatorname{Sym}^j V(k)</math>

<math>\prod_{j=0}^{k}(1-zq^{k-2j})^{-1}=\sum_{j=0}^{\infty}z^j\begin{bmatrix} k+j\\ k\end{bmatrix}_{q}</math>
정리

<math>\mathfrak{sl}_2</math>의 <math>(k+1)</math>-차원 기약표현 <math>V(k)</math>에 대하여, 표현 <math>\operatorname{Sym}^j V(k)</math>의 지표는 다음과 같다

<math>\chi(\operatorname{Sym}^j V(k))=\begin{bmatrix} k+j\\ k\end{bmatrix}_{q}</math>

생성함수는 다음과 같다

<math>

\sum_{j=0}^{\infty}\chi(\operatorname{Sym}^j V(k))z^j=\prod_{j=0}^{k}(1-zq^{k-2j})^{-1} </math> 여기서 <math>[n]_{q}=\frac{q^n-q^{-n}}{q-q^{-1}}</math>

증명

<math>k</math>를 고정하자. 표현 <math>\operatorname{Sym}^j V(k)</math>의 지표를 <math>F_j(q)</math>라 하자

<math>F_j(q)=\sum_{m_0,\cdots,m_k}q^{(k-0)m_0+(k-2)m_1+\cdots+(2-k)m_{k-1}+(0-k)m_k}</math>

이 때, 합은 <math>m_0+m_1+\cdots+m_k=j</math>를 만족하는 <math>(m_0,\cdots, m_k)</math>에 대한 것이다.

다음 생성함수를 생각하자

<math>F(z,q)=\sum_{j=0}^{\infty}F_j(q)z^j</math>

다음이 성립한다

<math>F(z,q)=\sum_{j=0}^{\infty}F_j(q)z^j=\prod_{j=0}^{k}(1-zq^{k-2j})^{-1}</math>

이를 증명하기 위해, 다음을 생각하자

<math>(1-zq^{k-2j})^{-1}=\sum_{m=0}^{\infty}z^mq^{m(k-2j)}</math>

따라서

<math>\prod_{j=0}^{k}(1-zq^{k-2j})^{-1}=\sum_{m_0,\cdots,m_k}z^{m_0+\cdots+m_k}q^{(k-0)m_0+(k-2)m_1+\cdots+(2-k)m_{k-1}+(0-k)m_k}</math>

다음을 확인할 수 있다

<math>\prod_{j=0}^{k}(1-zq^{k-2j})^{-1}=\sum_{j=0}^{\infty}z^j\begin{bmatrix} k+j\\ k\end{bmatrix}_{q}</math>■


<math>\Lambda^{j}V(k)</math>

<math>\prod_{j=0}^{k}(1+zq^{k-2j})=\sum_{j=0}^{k+1}\begin{bmatrix} k+1 \\ j\end{bmatrix}_{q}q^{j(j-1)/2}z^j</math>
정리

표현 <math>\Lambda^{j}V(k)</math>의 지표는 다음과 같다

<math>\begin{bmatrix} k+1 \\ j\end{bmatrix}_{q}q^{j(j-1)/2}</math>


증명

위의 증명과 유사하다. ■

파울리 행렬

  • 파울리 행렬의 선형결합으로 리대수 <math>\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})</math> 의 원소를 표현할 수 있으며, 특별히 생성원 <math>E,F</math>는 raising and lowering 연산자로 불리며 다음과 같이 표현된다 :<math>H=\sigma_{z}=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}</math> :<math>E=\sigma_{+}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}+ i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}</math> :<math>F=\sigma_{-}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}- i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}</math> :<math>[\sigma_{z},\sigma_{\pm}]=\pm 2\sigma_{\pm}</math>


역사


메모

  • <math>\mathbb{F}</math> : algebraically closed field with characteristic 0 에 대해서도 같은 이야기를 전개할 수 있다
  • http://arxiv.org/abs/1504.07814

관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료


관련도서

  • [GW1998]Goodman and Wallach,Representations and invariants of the classical groups

관련논문

  • Bacry, Henri. 1987. “SL(2,C), SU(2), and Chebyshev Polynomials.” Journal of Mathematical Physics 28 (10) (October 1): 2259–2267. doi:10.1063/1.527759.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'hermite'}, {'LEMMA': 'reciprocity'}]
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