"3차원 공간의 회전과 SO(3)"의 두 판 사이의 차이

2011년 12월 3일 (토) 06:10 판

3차원에서 단위벡터 \((\omega _x,\omega _y,\omega _z)\) 를 축으로 하여 \(\theta\) 만큼 회전시키는 변환의 행렬표현
\(\left( \begin{array}{ccc} \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _x^2 & (1-\cos (\theta )) \omega _x \omega _y-\sin (\theta ) \omega _z & \sin (\theta ) \omega _y-(\cos (\theta )-1) \omega _x \omega _z \\ (1-\cos (\theta )) \omega _x \omega _y+\sin (\theta ) \omega _z & \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _y^2 & -\sin (\theta ) \omega _x-(\cos (\theta )-1) \omega _y \omega _z \\ -\sin (\theta ) \omega _y-(\cos (\theta )-1) \omega _x \omega _z & \sin (\theta ) \omega _x-(\cos (\theta )-1) \omega _y \omega _z & \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _z^2 \end{array} \right)\)
로드리게스 공식 http://www.cs.berkeley.edu/~ug/slide/pipeline/assignments/as5/rotation.html

단위구면의 회전에서 stereographic projection 을 통해 다음과 같은 뫼비우스 변환 을 얻는다
\( \begin{pmatrix} \alpha&-\overline{\beta}\\ \beta&\overline{\alpha} \end{pmatrix}\)
여기서 \(\alpha,\beta\in\mathbf{C}, |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1\)

\(L_{x}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)\)

\(L_{y}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{array} \right)\)

\(L_{z}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\)

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 <h5>projective representation</h5>
-* 단위구면의 회전은 [[평사 투영(stereographic projection)|stereographic projection]] 을 통해 복소평면에 정의된
+*  단위구면의 회전에서 [[평사 투영(stereographic projection)|stereographic projection]] 을 통해 다음과 같은 [[뫼비우스 변환군과 기하학|뫼비우스 변환]] 을 얻는다<br><math> \begin{pmatrix} \alpha&-\overline{\beta}\\ \beta&\overline{\alpha} \end{pmatrix}</math><br> 여기서 <math>\alpha,\beta\in\mathbf{C}, |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1</math><br>
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