뫼비우스 변환

수학노트
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개요

  • 복소평면 (더 정확히는 리만구면) 상의 복소수를, 또다른 복소수로 보내는 함수
  • \(a,b,c,d\in\Bbb{C} \mbox{ and } ad-bc \ne 0\)일 때, 뫼비우스 변환은 다음과 같이 주어짐

\[f(z) = \frac{az+b}{cz+d}\]

  • 하나의 뫼비우스변환은 $GL(2,\mathbb{C})$의 원소로 표현되지만, 행렬들의 상수배정도는 모두 똑같은 역할을 하므로, 전체 뫼비우스변환군은 $PGL(2,\mathbb{C})$와 동형인 군이 됨.
  • 겹선형(bilinear) 또는 linear fractional transformation 으로 불리기도 함.
  • 해석함수로 각도와 방향을 보존함.
  • 뫼비우스 변환은 복소평면보다 리만구면에 정의된 변환으로 이해하는 것이 바람직함.
  • 리만구면 = 1차원 복소사영공간
  • 원이나 직선들을 모두 원이나 직선으로 보냄. (직선을 반지름이 무한대인 원으로 생각한다면, 원을 원으로 보냄.)
  • 교차비를 보존함.
  • 기초적인 내용은 학부 수준의 복소함수론에서 배울 수 있음.
  • 리만구에 작용하는 뫼비우스 변환들이 이루는 군의 분류 문제는 많은 수학의 분야와 밀접하게 관련.



반전 사상과 뫼비우스 변환

  • 반전 사상(inversion)
  • \(z \mapsto \frac{1}{\bar{z}}\) 는 복소평면 상에서 고전적인 반전 사상이 된다. 하지만 방향(orientation)을 보존하지 않으므로, 해석함수가 되지 않음.
  • 뫼비우스 변환 \(z \mapsto \frac{1}{z}\) 는 고전적인 평면기하의 반전 사상과 복소평면 상에서 x축에 대한 대칭사상의 합성으로, 방향을 보존하게 되고, 해석함수가 됨.



한 점에서의 사영과 뫼비우스 변환

  • 두 주어진 직선 A,B와 두 직선 밖의 주어진 점 \(P'\)가 있다.
  • 직선 A 위의 점 \(P\)와 \(P'\)를 지나는 직선이 직선 B에서 만나는 점을 \(\pi(P)\) 라 하자.
  • \(\pi :A \to B\) 를 이와 같이 정의할 수 있다.
  • 직선이 아닌 원에 대해서도 마찬가지로 정의가 가능.3259985-afigure006-riemann65.jpg



뫼비우스 변환과 원과 직선

  • 직선의 방정식
    • \(ax+by+c=0, a,b,c \in \mathbb{R}\)
    • \(Bz+\bar{B}\bar{z}+c=0, z=x+iy, B=\frac{a}{2}-\frac{ib}{2}\)
    • 두 표현은 같은 직선의 표현
  • 원의 방정식
    • \(|z-z_0|=\rho\)
    • \(z\bar{z}+\bar{B}z+B\bar{z}+c=0, B=-z_0, c=|B|^2-\rho^2\)
    • 두 표현은 같은 원의 표현
  • 따라서 \(az\bar{z}+\bar{B}z+{B}\bar{z}+c=0, a,c\in \mathbb{R}\) 는 원과 직선의 방정식이 됨.
  • 뫼비우스 변환은 이러한 형태의 식을 보존하므로, 원과 직선을 원과 직선으로 보냄.



교차비와 뫼비우스 변환

  • 뫼비우스 변환이 네 점, \(z_1,z_2,z_3,z_4\) 를 \(w_1,w_2,w_3,w_4\)로 보내는 경우, 교차비는 보존됨.

\[\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_2-z_3)(z_1-z_4)} = \frac{(w_1-w_3)(w_2-w_4)}{(w_2-w_3)(w_1-w_4)}\]

  • 교차비를 보존하는 복소함수가 네 점 \(z,z_2,z_3,z_4\)를 \(w,1,0,\infty\)로 보낼 경우, \((z,z_2;z_3,z_4) =(w,1;0,\infty)\) 로부터 다음의 뫼비우스변환을 유도할 수 있음

\[w = \frac{(z-z_3)(z_2-z_4)}{(z_2-z_3)(z-z_4)}\]


세 점

  • 사영기하학의 관점에서 \(\{0,1,\infty\}\)의 선택이 좋은 이유
  • \(0\) 은 기준점의 역할
  • \(1\) 은 단위길이를 결정

The first set of fixed points is {0, 1, ∞}. However, the cross-ratio can never take on these values if the points {zi} are all distinct. These values are limit values as one pair of coordinates approach each other:

\[(z,z_2;z,z_4) = (z_1,z;z_3,z) = 0\,\] \[(z,z;z_3,z_4) = (z_1,z_2;z,z) = 1\,\] \[(z,z_2;z_3,z) = (z_1,z;z,z_4) = \infty.\]



메모

  • 사영기하학과 뫼비우스 변환
  • Cross ratio
    • central projection and cross ratio
    • inversion and cross ratio
  • Steiner's theorem



관련된 고교수학 또는 대학수학


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


리뷰, 에세이, 강의노트


관련논문

  • Knibbeler, Vincent, Sara Lombardo, and Jan A. Sanders. “Isotypical Components of Rational Functions.” arXiv:1511.06327 [math-Ph], November 19, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.06327.

관련도서


사전형태의 자료


동영상

  • Moebius Transformations Revealed
    • Youtube
    • 동영상으로 보는 뫼비우스 변환의 아름다움.
    • 다양한 뫼비우스 변환이 처음의 사각형을 어떻게 바꾸는지를 보여줌.
    • 뫼비우스 변환은 복소평면보다 리만구면에 정의된 변환으로 이해하는 것이 바람직한 이해.