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*  리대수의 생성원<br><math>L_{x}=\left( \begin{array}{ccc}  0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & -1 \\  0 & 1 & 0 \end{array} \right)</math><br><math>L_{y}=\left( \begin{array}{ccc}  0 & 0 & 1 \\  0 & 0 & 0 \\  -1 & 0 & 0 \end{array} \right)</math><br><math>L_{z}=\left( \begin{array}{ccc}  0 & -1 & 0 \\  1 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 \end{array} \right)</math><br>
 
*  리대수의 생성원<br><math>L_{x}=\left( \begin{array}{ccc}  0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & -1 \\  0 & 1 & 0 \end{array} \right)</math><br><math>L_{y}=\left( \begin{array}{ccc}  0 & 0 & 1 \\  0 & 0 & 0 \\  -1 & 0 & 0 \end{array} \right)</math><br><math>L_{z}=\left( \begin{array}{ccc}  0 & -1 & 0 \\  1 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 \end{array} \right)</math><br>
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* <math>[L_{i},L_{j}]=\epsilon_{ijk}L_{k}</math><br>  <br>
 
* [[벡터의 외적(cross product)]]<br>
 
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<h5>양자역학의 각운동량 이론과의 관계</h5>
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(1) 궤도각운동량(Orbital Angular Momentum)
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수소원자를 이루는 전자의 각운동량은 3차원 직각좌표계를 도입할 때 <math>\vec{L} = \hat{x} L_x + \hat{y} L_y + \hat{z} L_z</math> 와 같이 성분으로 표기할 수 있다. 불확정성의 원리에 기반하여 실험적으로는 아무리 측정을 잘 해도 이 세 성분을 정확히 측정하는 것은 불가능하다. 양자역학에서는 다음 정준교환자관계식(canonical commutation relation)이 성립한다. 이는 불확정성의 원리와 관계가 있다.
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<math>[x , p_x ] = i \hbar</math> , <math>[y , p_y ] = i \hbar</math>, <math>[z , p_z ] = i \hbar</math>
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이 관계식들은 각운동량의 각 성분들에 대한 아래의 교환자 관계식들과 동치이다.
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<math>[L_x , L_y ] = i \hbar L_z</math>, <math>[L_y , L_z ] = i \hbar L_x</math>, <math>[L_z , L_x ] = i \hbar L_y</math>
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(<math>\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}</math> 관계를 이용하면 쉽게 알 수 있다)
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<math>x = 1, y = 2 , z = 3</math> 으로 두고 <math>i,j,k= 1,2,3</math> 이라 하면 리대수의 구조상수에 관한 교환관계식을 얻는다.
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<math>[L_i , L_j ] = i \hbar \epsilon_{ijk} L_k</math>
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(2) 스핀각운동량(Spin Angular Momentum)
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스핀각운동량에 관하여도 유사한 논리가 성립한다.
  
 
 
 
 

2012년 3월 5일 (월) 10:49 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요

 

 

 

로드리게스 공식
  • 3차원에서 단위벡터 \((\omega _x,\omega _y,\omega _z)\) 를 축으로 하여 \(\theta\) 만큼 회전시키는 변환의 행렬표현
    \(\left( \begin{array}{ccc} \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _x^2 & (1-\cos (\theta )) \omega _x \omega _y-\sin (\theta ) \omega _z & \sin (\theta ) \omega _y-(\cos (\theta )-1) \omega _x \omega _z \\ (1-\cos (\theta )) \omega _x \omega _y+\sin (\theta ) \omega _z & \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _y^2 & -\sin (\theta ) \omega _x-(\cos (\theta )-1) \omega _y \omega _z \\ -\sin (\theta ) \omega _y-(\cos (\theta )-1) \omega _x \omega _z & \sin (\theta ) \omega _x-(\cos (\theta )-1) \omega _y \omega _z & \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _z^2 \end{array} \right)\)
  • 유도 http://www.cs.berkeley.edu/~ug/slide/pipeline/assignments/as5/rotation.html
  • x,y,z 축을 중심으로 한 회전변환
    • x 축
      \(\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos (\theta ) & -\sin (\theta ) \\ 0 & \sin (\theta ) & \cos (\theta ) \end{array} \right)\)
    • y 축
      \(\left( \begin{array}{ccc} \cos (\theta ) & 0 & \sin (\theta ) \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin (\theta ) & 0 & \cos (\theta ) \end{array} \right)\)
    • z 축
      \(\left( \begin{array}{ccc} \cos (\theta ) & -\sin (\theta ) & 0 \\ \sin (\theta ) & \cos (\theta ) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\)

 

 

구면과 SO(3)

 

 

사영표현(projective representation)
  • 단위구면의 회전으로부터 stereographic projection 을 통해 다음과 같은 뫼비우스 변환 을 얻을 수 있다
    \(f(z)=\frac{\alpha z+\beta}{-\overline{\beta}z+\overline{\alpha}}\)
    여기서 \(\alpha,\beta\in\mathbf{C}, |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1\)
  • 더 구체적으로 단위벡터 \((a,b,c)\) 를 축으로 하여 \(\theta\) 만큼 회전시키는 변환은 다음 뫼비우스 변환에 대응된다
    \(f(z)=\frac{z \left(\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)+i c \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)+i a \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)-b \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)}{z \left(b \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)+i a \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)-i c \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)+\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)}\)
  • 벡터공간이 아닌 1차원 복소사영평면에 정의되므로, 사영표현(projective representation) 이다
  • 벡터공간에 정의되는 표현을 얻으려면, Spin(3)와 파울리 행렬 의 도입이 필요하다

 

 

무한소 회전
  • 리대수의 생성원
    \(L_{x}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)\)
    \(L_{y}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{array} \right)\)
    \(L_{z}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\)
  • \([L_{i},L_{j}]=\epsilon_{ijk}L_{k}\)
     
  • 벡터의 외적(cross product)

 

양자역학의 각운동량 이론과의 관계

(1) 궤도각운동량(Orbital Angular Momentum)

수소원자를 이루는 전자의 각운동량은 3차원 직각좌표계를 도입할 때 \(\vec{L} = \hat{x} L_x + \hat{y} L_y + \hat{z} L_z\) 와 같이 성분으로 표기할 수 있다. 불확정성의 원리에 기반하여 실험적으로는 아무리 측정을 잘 해도 이 세 성분을 정확히 측정하는 것은 불가능하다. 양자역학에서는 다음 정준교환자관계식(canonical commutation relation)이 성립한다. 이는 불확정성의 원리와 관계가 있다.

\([x , p_x ] = i \hbar\) , \([y , p_y ] = i \hbar\), \([z , p_z ] = i \hbar\)

이 관계식들은 각운동량의 각 성분들에 대한 아래의 교환자 관계식들과 동치이다.

\([L_x , L_y ] = i \hbar L_z\), \([L_y , L_z ] = i \hbar L_x\), \([L_z , L_x ] = i \hbar L_y\)

(\(\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}\) 관계를 이용하면 쉽게 알 수 있다)

\(x = 1, y = 2 , z = 3\) 으로 두고 \(i,j,k= 1,2,3\) 이라 하면 리대수의 구조상수에 관한 교환관계식을 얻는다.

\([L_i , L_j ] = i \hbar \epsilon_{ijk} L_k\)

(2) 스핀각운동량(Spin Angular Momentum)

스핀각운동량에 관하여도 유사한 논리가 성립한다.

 

역사

 

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

 

수학용어번역

 

 

 

사전 형태의 자료

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

 

관련논문

 

 

관련도서
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