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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 수학노트 원문주소</h5>
  
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*  7이상의 소수 <math>p \equiv 3 \pmod{4}</math> 에 대하여 숫자 "10"이  군 <math>(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times</math>의 [[원시근(primitive root)]]이라 하자<br>
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*  예 p=7, p=23<br>
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*  이 경우 <math>1/p</math>의 [[분수와 순환소수|순환소수]] 전개를 통해 다음과 같이 <math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})</math>의 class number h를 계산할 수 있다<br><math>\frac{1}{p}=0.\dot{y_1}\cdots\dot{y_{p-1}}</math><br><math>h=\frac{\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}y_k}{11}</math><br>
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(증명)
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* '''[Girstmair94]''' 참조<br>
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[[#]]
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<math>h=-\sum_{k=1}^{p-1}(\frac{k}{p})\frac{k}{p}</math>
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여기서 <math>{g_k}</math>는 <math>\{1,\cdots,p-1\}</math>의 원소로 <math>g_k \equiv 10^k \pmod p</math> 를 만족시킨다
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10이  <math>(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times</math>를 생성하므로 
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<math>h=-\sum_{k=1}^{p-1}(\frac{g_k}{p})\frac{g_k}{p}=\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k+1}\frac{g_k}{p}</math>
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한편 <math>\frac{1}{p}=0.\dot{y_1}\cdots\dot{y_{p-1}}</math> 를 순환소수전개로 얻는다면,
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<math>y_k=\frac{10g_{k-1}-g_k}{p}</math> (<math>k=1,\cdots, p-1</math>) 이다.
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다시 증명으로 돌아가자
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*  7의 경우<br><math>\frac{1}{7}=0.\dot{1}4285\dot{7}</math><br><math>\frac{-1+4-2+8-5+7}{11}=1</math><br>[[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]] 에서 확인할 수 있듯이  <math>\mathbb{Q}(\sqrt{-7})</math>의 class number는 1이다.<br>
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*  23의 경우<br>  <br><math>\frac{1}{23}=0.\dot{0}43478260869565217391\dot{3}</math><br><math>\frac{-0+4-3+4-7+8-2+6-0+8-6+9-5+6-5+2-1+7-3+9-1+3}{11}=3</math><br>[[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]] 에서 확인할 수 있듯이 <math>\mathbb{Q}(\sqrt{-23})</math>의 class number는 3이다.<br>
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예를 들자면, 
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<math>\frac{1}{7}=0.\dot{1}4285\dot{7}</math> 의 경우 
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<math>y_1=1,y_2=4,y_3=2,y_4=8,y_5=5,y_6=7,\cdots</math>
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*  7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313,... 는 10을 원시근으로 갖는 소수<br>
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** [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/A001913 Cyclic numbers: primes with primitive root 10] 참조<br>
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<h5>역사</h5>
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
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<h5>메모</h5>
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* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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<h5>관련된 항목들</h5>
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*  단어사전<br>
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** http://translate.google.com/#en|ko|
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** http://ko.wiktionary.org/wiki/
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* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
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** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
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* [http://www.kss.or.kr/pds/sec/dic.aspx 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표]
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* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
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* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
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<h5>사전 형태의 자료</h5>
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
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* [http://eom.springer.de/default.htm The Online Encyclopaedia of Mathematics]
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
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* [http://eqworld.ipmnet.ru/ The World of Mathematical Equations]
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<h5>리뷰논문, 에세이, 강의노트</h5>
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<h5>관련논문</h5>
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* '''[Girstmair94]'''[http://www.jstor.org/stable/2975167 A "Popular" Class Number Formula] Kurt Girstmair, The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 10 (Dec., 1994), pp. 997-1001
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
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* http://www.ams.org/mathscinet
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* http://dx.doi.org/
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<h5>관련도서</h5>
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*  도서내검색<br>
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** http://books.google.com/books?q=
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** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=

2011년 12월 4일 (일) 11:09 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요

 

 

순환소수 전개를 통한 class number의 계산
  • 7이상의 소수 \(p \equiv 3 \pmod{4}\) 에 대하여 숫자 "10"이  군 \((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times\)의 원시근(primitive root)이라 하자
  • 예 p=7, p=23
  • 이 경우 \(1/p\)의 순환소수 전개를 통해 다음과 같이 \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p})\)의 class number h를 계산할 수 있다
    \(\frac{1}{p}=0.\dot{y_1}\cdots\dot{y_{p-1}}\)
    \(h=\frac{\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}y_k}{11}\)

(증명)

  • [Girstmair94] 참조

#

\(h=-\sum_{k=1}^{p-1}(\frac{k}{p})\frac{k}{p}\)

여기서 \({g_k}\)는 \(\{1,\cdots,p-1\}\)의 원소로 \(g_k \equiv 10^k \pmod p\) 를 만족시킨다

10이  \((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times\)를 생성하므로 

\(h=-\sum_{k=1}^{p-1}(\frac{g_k}{p})\frac{g_k}{p}=\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k+1}\frac{g_k}{p}\)

한편 \(\frac{1}{p}=0.\dot{y_1}\cdots\dot{y_{p-1}}\) 를 순환소수전개로 얻는다면,

\(y_k=\frac{10g_{k-1}-g_k}{p}\) (\(k=1,\cdots, p-1\)) 이다.

다시 증명으로 돌아가자

 

\(11h=10h+h=\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k+1}\frac{10g_k}{p}-\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}\frac{g_k}{p}=\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}\frac{10g_{k-1}-g_k}{p}=\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}y_k\)

 

따라서 

 

\(h=\frac{\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^{k}y_k}{11}\)  ■

 

 

 

예

 

 

 

예를 들자면, 

\(\frac{1}{7}=0.\dot{1}4285\dot{7}\) 의 경우 


\(g_0=1,g_1=3,g_2=2,g_3=6,g_4=4,g_5=5,g_6=1,\cdots\)

\(y_1=1,y_2=4,y_3=2,y_4=8,y_5=5,y_6=7,\cdots\)

 

 

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

 

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수학용어번역

 

 

 

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