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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 수학노트 원문주소</h5> | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 수학노트 원문주소</h5> | ||
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* http://books.google.com/books?id=0bH6SUHSvloC&pg=PA24%20#%20v=onepage&q&f=false 참조 | * http://books.google.com/books?id=0bH6SUHSvloC&pg=PA24%20#%20v=onepage&q&f=false 참조 | ||
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* 다음과 같은 [[라그랑지 resolvent|라그랑지 resolvents]] 를 사용하자<br><math>t_i=\alpha +\alpha ^2 \beta ^i+\alpha ^4 \beta ^{2 i}+\alpha ^8 \beta ^{3 i}+\alpha ^5 \beta ^{4 i}+\alpha ^{10} \beta ^{5 i}+\alpha ^9 \beta ^{6 i}+\alpha ^7 \beta ^{7 i}+\alpha ^3 \beta ^{8 i}+\alpha ^6 \beta ^{9 i}</math><br> 여기서 <math>i=1,2,\cdots, 10</math><br> | * 다음과 같은 [[라그랑지 resolvent|라그랑지 resolvents]] 를 사용하자<br><math>t_i=\alpha +\alpha ^2 \beta ^i+\alpha ^4 \beta ^{2 i}+\alpha ^8 \beta ^{3 i}+\alpha ^5 \beta ^{4 i}+\alpha ^{10} \beta ^{5 i}+\alpha ^9 \beta ^{6 i}+\alpha ^7 \beta ^{7 i}+\alpha ^3 \beta ^{8 i}+\alpha ^6 \beta ^{9 i}</math><br> 여기서 <math>i=1,2,\cdots, 10</math><br> | ||
* <math>t_{i}t_{1}^{10-i}</math>는 <math>\beta</math> 만을 사용하여 표현할 수 있다 | * <math>t_{i}t_{1}^{10-i}</math>는 <math>\beta</math> 만을 사용하여 표현할 수 있다 | ||
| − | * 예를 들면<br><math>t_1^{10}=42470+98020 \beta -88540 \beta ^2-17590 \beta ^3-925 \beta ^4-37654 \beta ^5-760 \beta ^6+1880 \beta ^7-32770 \beta ^8+35870 \beta ^9</math><br><math>t_2t_1^{9}=7690-19480 \beta -5092 \beta ^2+9648 \beta ^3-6610 \beta ^4+30328 \beta ^5+9703 \beta ^6-10856 \beta ^7-13012 \beta ^8-2320 \beta ^9</math><br> | + | * 예를 들면<br><math>t_1^{10}=42470+98020 \beta -88540 \beta ^2-17590 \beta ^3-925 \beta ^4-37654 \beta ^5-760 \beta ^6+1880 \beta ^7-32770 \beta ^8+35870 \beta ^9</math><br><math>t_2t_1^{9}=7690-19480 \beta -5092 \beta ^2+9648 \beta ^3-6610 \beta ^4+30328 \beta ^5+9703 \beta ^6-10856 \beta ^7-13012 \beta ^8-2320 \beta ^9</math><br><math>t_3t_1^7=-2773-5776 \beta +923 \beta ^2-925 \beta ^3-2080 \beta ^4+2386 \beta ^5-298 \beta ^6-463 \beta ^7+11549 \beta ^8-2542 \beta ^9</math><br> |
| − | * 따라서 모든 <math>t_i</math> 를 | + | * 따라서 모든 <math>t_i</math> 를 <math>\beta</math>와 근호들을 사용하여 표현할 수 있다 |
* <math>\beta ^4-\beta ^3+\beta ^2-\beta +1=0</math> 을 이용하면, <math>t_1+t_2+t_3+t_4+t_5+t_6+t_7+t_8+t_9+t_{10}=10\alpha</math> 임을 알 수 있다. | * <math>\beta ^4-\beta ^3+\beta ^2-\beta +1=0</math> 을 이용하면, <math>t_1+t_2+t_3+t_4+t_5+t_6+t_7+t_8+t_9+t_{10}=10\alpha</math> 임을 알 수 있다. | ||
| − | * | + | * 그러므로 <math>x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0</math> 의 해 <math>\alpha</math>를 <math>\beta</math>와 근호들을 사용하여 표현할 수 있다 |
2012년 7월 13일 (금) 10:23 판
이 항목의 수학노트 원문주소
개요
- 원분다항식(cyclotomic polynomial) 은 가해군(solvable group) 을 갈루아 군으로 가지므로, 근호를 사용하여 해를 표현할 수 있다
- 라그랑지 resolvent 를 사용하여 이 과정을 구체적으로 수행할 수 있다
n=11 인 경우의 예
- http://books.google.com/books?id=0bH6SUHSvloC&pg=PA24%20#%20v=onepage&q&f=false 참조
- 다음의 원분다항식(cyclotomic polynomial) 을 생각하자.
- \(x^{11}-1=(x-1) \left(x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\right)\)
- \(x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0\) 의 해 \(\alpha\)를 근호를 사용하여 표현하는 문제
- \(\beta\) 는 \(\beta^{10}=1\) 를 만족시키는 primitive root of unity, 즉 \(\beta ^4-\beta ^3+\beta ^2-\beta +1=0\) 이라 두자.
- 다음과 같은 라그랑지 resolvents 를 사용하자
\(t_i=\alpha +\alpha ^2 \beta ^i+\alpha ^4 \beta ^{2 i}+\alpha ^8 \beta ^{3 i}+\alpha ^5 \beta ^{4 i}+\alpha ^{10} \beta ^{5 i}+\alpha ^9 \beta ^{6 i}+\alpha ^7 \beta ^{7 i}+\alpha ^3 \beta ^{8 i}+\alpha ^6 \beta ^{9 i}\)
여기서 \(i=1,2,\cdots, 10\) - \(t_{i}t_{1}^{10-i}\)는 \(\beta\) 만을 사용하여 표현할 수 있다
- 예를 들면
\(t_1^{10}=42470+98020 \beta -88540 \beta ^2-17590 \beta ^3-925 \beta ^4-37654 \beta ^5-760 \beta ^6+1880 \beta ^7-32770 \beta ^8+35870 \beta ^9\)
\(t_2t_1^{9}=7690-19480 \beta -5092 \beta ^2+9648 \beta ^3-6610 \beta ^4+30328 \beta ^5+9703 \beta ^6-10856 \beta ^7-13012 \beta ^8-2320 \beta ^9\)
\(t_3t_1^7=-2773-5776 \beta +923 \beta ^2-925 \beta ^3-2080 \beta ^4+2386 \beta ^5-298 \beta ^6-463 \beta ^7+11549 \beta ^8-2542 \beta ^9\) - 따라서 모든 \(t_i\) 를 \(\beta\)와 근호들을 사용하여 표현할 수 있다
- \(\beta ^4-\beta ^3+\beta ^2-\beta +1=0\) 을 이용하면, \(t_1+t_2+t_3+t_4+t_5+t_6+t_7+t_8+t_9+t_{10}=10\alpha\) 임을 알 수 있다.
- 그러므로 \(x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0\) 의 해 \(\alpha\)를 \(\beta\)와 근호들을 사용하여 표현할 수 있다
역사
메모
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- The Online Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
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