"정이십면체와 모듈라 연분수"의 두 판 사이의 차이
Pythagoras0 (토론 | 기여) 잔글 (찾아 바꾸기 – “<h5>” 문자열을 “==” 문자열로) |
|||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
| − | + | ==이 항목의 수학노트 원문주소</h5> | |
* [[정이십면체와 모듈라 연분수]] | * [[정이십면체와 모듈라 연분수]] | ||
| 7번째 줄: | 7번째 줄: | ||
| − | + | ==개요</h5> | |
* 클라인의 [[5차방정식과 정이십면체|오차방정식과 정이십면체]] 이론과 관계 | * 클라인의 [[5차방정식과 정이십면체|오차방정식과 정이십면체]] 이론과 관계 | ||
| 17번째 줄: | 17번째 줄: | ||
| − | + | ==정이십면체 뫼비우스 변환군의 불변량</h5> | |
* [[정이십면체 뫼비우스 변환군]] | * [[정이십면체 뫼비우스 변환군]] | ||
| 32번째 줄: | 32번째 줄: | ||
| − | + | ==로저스-라마누잔 연분수의 singular moduli</h5> | |
* edge points<br><math>r(\frac{a\cdot i+b}{c\cdot i+d})</math>는 edge points 즉 <math>E=(z_1^{30}+z_2^{30})+522(z_1^{25}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{25})-10005(z_1^{20}z_2^{10}+z_1^{10}z_2^{20})</math>의 해이다. <br><math>r(i)={\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}</math><br> | * edge points<br><math>r(\frac{a\cdot i+b}{c\cdot i+d})</math>는 edge points 즉 <math>E=(z_1^{30}+z_2^{30})+522(z_1^{25}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{25})-10005(z_1^{20}z_2^{10}+z_1^{10}z_2^{20})</math>의 해이다. <br><math>r(i)={\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}</math><br> | ||
| 57번째 줄: | 57번째 줄: | ||
(증명) | (증명) | ||
| − | [[정이십면체 뫼비우스 변환군]][[5차방정식과 정이십면체|]]에서 얻은 다음 결과들을 사용하자. | + | [[정이십면체 뫼비우스 변환군]][[5차방정식과 정이십면체|5차방정식과 정이십면체]]에서 얻은 다음 결과들을 사용하자. |
<math>V=z_1z_2(z_1^{10}+11z_1^5z_2^5-z_2^{10})</math> | <math>V=z_1z_2(z_1^{10}+11z_1^5z_2^5-z_2^{10})</math> | ||
| 85번째 줄: | 85번째 줄: | ||
| − | + | ==역사</h5> | |
| 96번째 줄: | 96번째 줄: | ||
| − | + | ==메모</h5> | |
* http://library.wolfram.com/examples/quintic/main.html | * http://library.wolfram.com/examples/quintic/main.html | ||
| 107번째 줄: | 107번째 줄: | ||
| − | + | ==관련된 항목들</h5> | |
* [[5차방정식과 정이십면체]] | * [[5차방정식과 정이십면체]] | ||
| 116번째 줄: | 116번째 줄: | ||
| − | + | ==수학용어번역</h5> | |
* 단어사전<br> | * 단어사전<br> | ||
| 133번째 줄: | 133번째 줄: | ||
| − | + | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스</h5> | |
* | * | ||
| 148번째 줄: | 148번째 줄: | ||
| − | + | ==사전 형태의 자료</h5> | |
* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
| 160번째 줄: | 160번째 줄: | ||
| − | + | ==리뷰논문, 에세이, 강의노트</h5> | |
| 168번째 줄: | 168번째 줄: | ||
| − | + | ==관련논문</h5> | |
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | * http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | ||
| 178번째 줄: | 178번째 줄: | ||
| − | + | ==관련도서</h5> | |
* 도서내검색<br> | * 도서내검색<br> | ||
** http://books.google.com/books?q= | ** http://books.google.com/books?q= | ||
** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query= | ** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query= | ||
2012년 11월 1일 (목) 03:35 판
==이 항목의 수학노트 원문주소
==개요
- 클라인의 오차방정식과 정이십면체 이론과 관계
- \(\Gamma(5)\) 에 대한 모듈라 함수론
- 로저스-라마누잔 연분수 가 등장
==정이십면체 뫼비우스 변환군의 불변량
- 정이십면체 뫼비우스 변환군
- vertex points
- \(F_1=z_1z_2(z_1^{10}+11z_1^5z_2^5-z_2^{10})\)
- face points
- \(F_2=-(z_1^{20}+z_2^{20})+228(z_1^{15}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{15})-494z_1^{10}z_2^{10}\)
- edge points
- \(F_3=(z_1^{30}+z_2^{30})+522(z_1^{25}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{25})-10005(z_1^{20}z_2^{10}+z_1^{10}z_2^{20})\)
- syzygy relation
\(1728F_1^5-F_2^3-F_3^2=0\) 또는 \(1728V^5-E^2-F^3=0\)
==로저스-라마누잔 연분수의 singular moduli
- edge points
\(r(\frac{a\cdot i+b}{c\cdot i+d})\)는 edge points 즉 \(E=(z_1^{30}+z_2^{30})+522(z_1^{25}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{25})-10005(z_1^{20}z_2^{10}+z_1^{10}z_2^{20})\)의 해이다.
\(r(i)={\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}\) - face points
\(r(\frac{a\cdot \rho+b}{c\cdot \rho+d})\) 는 face points 즉 \(F=-(z_1^{20}+z_2^{20})+228(z_1^{15}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{15})-494z_1^{10}z_2^{10}\)의 해이다.
\(r(\rho)=e^{-\frac{\pi i}{5}}\frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}-3-\sqrt{5}}{4}\) - vertex points
\(5\not | d\) 일 때, \(r(\frac{a\cdot 0 +b}{c\cdot 0+d})=r(\frac{b}{d})\) 는 vertex points 즉 \(V=z_1z_2(z_1^{10}+11z_1^5z_2^5-z_2^{10})\)의 해이다. - 위에서 \(z=[z_1:z_2]=\frac{z_1}{z_2}\) 로 이해한다
j-invariant 와의 관계
(정리)
\((r(\tau)^{20}-228r(\tau)^{15}+494r(\tau)^{10}+228r(\tau)^{5}+1)^3+j(\tau)r(\tau)^{5}(r(\tau)^{10}+11r(\tau)^{5}-1)^5=0\)
또는 \(j(\tau)=-\frac{(r(\tau)^{20}-228r(\tau)^{15}+494r(\tau)^{10}+228r(\tau)^{5}+1)^3}{r(\tau)^{5}(r(\tau)^{10}+11r(\tau)^{5}-1)^5}\)
여기서, \(j(\tau)\) 는 타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)
(증명)
정이십면체 뫼비우스 변환군5차방정식과 정이십면체에서 얻은 다음 결과들을 사용하자.
\(V=z_1z_2(z_1^{10}+11z_1^5z_2^5-z_2^{10})\)
\(E=(z_1^{30}+z_2^{30})+522(z_1^{25}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{25})-10005(z_1^{20}z_2^{10}+z_1^{10}z_2^{20})\)
\(F=-(z_1^{20}+z_2^{20})+228(z_1^{15}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{15})-494z_1^{10}z_2^{10}\)
\(1728V^5-E^2-F^3=0\)
\(J(z)=1728-\frac{E(z)^2}{V(z)^5}=\frac{F(z)^3}{V(z)^5}= -\frac{(z^{20}-228z^{15}+494z^{10}+228z^{5}+1)^3}{z^{5}(z^{10}+11z^{5}-1)^5}\)는 정이십면체 뫼비우스 변환군 \(G_{60}=\langle S,T\rangle\)에 의해 불변이다.
따라서
\(J(r(\tau))=-\frac{(r(\tau)^{20}-228r(\tau)^{15}+494r(\tau)^{10}+228r(\tau)^{5}+1)^3}{r(\tau)^{5}(r(\tau)^{10}+11r(\tau)^{5}-1)^5}\) 는 모듈라 군(modular group)에 의하여 불변이고, 모듈라 함수가 된다.
즉, \(g\in\Gamma\)에 대하여 \(J(r(g\tau))=J(r(\tau))\)가 성립한다.
한편 \(\tau\in\mathbb{H}\) 일때 \(V(r(\tau))\neq0 \)이므로, \(J(r(\tau))\)는 \(\tau\in\mathbb{H}\)에 대하여 해석함수가 된다.
\(J(z)=\frac{F(z)^3}{V(z)^5}=-\frac{(z^{20}-228z^{15}+494z^{10}+228z^{5}+1)^3}{z^{5}(z^{10}+11z^{5}-1)^5}\) 로부터 \(J(r(\tau))\)는 \(\tau=i\infty\)에서 단순pole을 가지며, \(J(r(i))=1728\), \(J(r(\rho))=0\) 임도 알 수 있다.
따라서 \(J(r(\tau))\)는 타원 모듈라 j-함수 (j-invariant)이다. ■
==역사
==메모
- http://library.wolfram.com/examples/quintic/main.html
- http://mathworld.wolfram.com/IcosahedralEquation.html
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
==관련된 항목들
==수학용어번역
- 단어사전
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
- 한국물리학회 물리학 용어집 검색기
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
==매스매티카 파일 및 계산 리소스
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
- 매스매티카 파일 목록
==사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- The Online Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The World of Mathematical Equations
==리뷰논문, 에세이, 강의노트
==관련논문
==관련도서