정이십면체와 모듈라 연분수

수학노트
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개요



정이십면체 뫼비우스 변환군의 불변량

  • 정이십면체 뫼비우스 변환군
  • vertex points
    • <math>F_1=z_1z_2(z_1^{10}+11z_1^5z_2^5-z_2^{10})</math>
  • face points
    • <math>F_2=-(z_1^{20}+z_2^{20})+228(z_1^{15}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{15})-494z_1^{10}z_2^{10}</math>
  • edge points
    • <math>F_3=(z_1^{30}+z_2^{30})+522(z_1^{25}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{25})-10005(z_1^{20}z_2^{10}+z_1^{10}z_2^{20})</math>
  • syzygy relation:<math>1728F_1^5-F_2^3-F_3^2=0</math> 또는 <math>1728V^5-E^2-F^3=0</math>



로저스-라마누잔 연분수의 singular moduli

  • edge points:<math>r(\frac{a\cdot i+b}{c\cdot i+d})</math>는 edge points 즉 <math>E=(z_1^{30}+z_2^{30})+522(z_1^{25}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{25})-10005(z_1^{20}z_2^{10}+z_1^{10}z_2^{20})</math>의 해이다. :<math>r(i)={\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}</math>
  • face points:<math>r(\frac{a\cdot \rho+b}{c\cdot \rho+d})</math> 는 face points 즉 <math>F=-(z_1^{20}+z_2^{20})+228(z_1^{15}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{15})-494z_1^{10}z_2^{10}</math>의 해이다. :<math>r(\rho)=e^{-\frac{\pi i}{5}}\frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}-3-\sqrt{5}}{4}</math>
  • vertex points:<math>5\not | d</math> 일 때, <math>r(\frac{a\cdot 0 +b}{c\cdot 0+d})=r(\frac{b}{d})</math> 는 vertex points 즉 <math>V=z_1z_2(z_1^{10}+11z_1^5z_2^5-z_2^{10})</math>의 해이다.
  • 위에서 <math>z=[z_1:z_2]=\frac{z_1}{z_2}</math> 로 이해한다



j-invariant 와의 관계

(정리)

<math>(r(\tau)^{20}-228r(\tau)^{15}+494r(\tau)^{10}+228r(\tau)^{5}+1)^3+j(\tau)r(\tau)^{5}(r(\tau)^{10}+11r(\tau)^{5}-1)^5=0</math>

또는

<math>j(\tau)=-\frac{(r(\tau)^{20}-228r(\tau)^{15}+494r(\tau)^{10}+228r(\tau)^{5}+1)^3}{r(\tau)^{5}(r(\tau)^{10}+11r(\tau)^{5}-1)^5}</math>

여기서, <math>j(\tau)</math> 는 타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)


(증명)

정이십면체 뫼비우스 변환군5차방정식과 정이십면체에서 얻은 다음 결과들을 사용하자.

<math>V=z_1z_2(z_1^{10}+11z_1^5z_2^5-z_2^{10})</math>
<math>E=(z_1^{30}+z_2^{30})+522(z_1^{25}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{25})-10005(z_1^{20}z_2^{10}+z_1^{10}z_2^{20})</math>
<math>F=-(z_1^{20}+z_2^{20})+228(z_1^{15}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{15})-494z_1^{10}z_2^{10}</math>
<math>1728V^5-E^2-F^3=0</math>
<math>J(z)=1728-\frac{E(z)^2}{V(z)^5}=\frac{F(z)^3}{V(z)^5}= -\frac{(z^{20}-228z^{15}+494z^{10}+228z^{5}+1)^3}{z^{5}(z^{10}+11z^{5}-1)^5}</math>는 정이십면체 뫼비우스 변환군 <math>G_{60}=\langle S,T\rangle</math>에 의해 불변이다.

따라서

<math>J(r(\tau))=-\frac{(r(\tau)^{20}-228r(\tau)^{15}+494r(\tau)^{10}+228r(\tau)^{5}+1)^3}{r(\tau)^{5}(r(\tau)^{10}+11r(\tau)^{5}-1)^5}</math> 는 모듈라 군(modular group)에 의하여 불변이고, 모듈라 함수가 된다.

즉, <math>g\in\Gamma</math>에 대하여 <math>J(r(g\tau))=J(r(\tau))</math>가 성립한다.

한편 <math>\tau\in\mathbb{H}</math> 일때 <math>V(r(\tau))\neq0 </math>이므로, <math>J(r(\tau))</math>는 <math>\tau\in\mathbb{H}</math>에 대하여 해석함수가 된다.

<math>J(z)=\frac{F(z)^3}{V(z)^5}=-\frac{(z^{20}-228z^{15}+494z^{10}+228z^{5}+1)^3}{z^{5}(z^{10}+11z^{5}-1)^5}</math> 로부터 <math>J(r(\tau))</math>는 <math>\tau=i\infty</math>에서 단순pole을 가지며, <math>J(r(i))=1728</math>, <math>J(r(\rho))=0</math> 임도 알 수 있다.

따라서 <math>J(r(\tau))</math>는 타원 모듈라 j-함수 (j-invariant)이다. ■



메모



관련된 항목들


관련논문

  • Bagis, Nikos. “On the Complete Solution of the General Quintic Using Rogers-Ramanujan Continued Fraction.” arXiv:1510.00068 [math], September 30, 2015. http://arxiv.org/abs/1510.00068.
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