분할수의 생성함수(오일러 함수)

이 항목의 스프링노트 원문주소

• 분할수의 생성함수(오일러 함수)
  

 

 

개요

• 분할수의 생성함수를 오일러함수라고도 하며 다음과 같이 정의한다 $$\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n$$ 여기서 $p(n)$ 은 $n$의 분할수
• 다음과 같이 무한곱으로 표현가능하다 \[\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} = \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} \]
• 급수 전개 \[\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n= 1+q+2 q^2+3 q^3+5 q^4+7 q^5+11 q^6+15 q^7+22 q^8+30 q^9+42 q^{10}+\cdots\]

 

 

오일러의 오각수정리

• 오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem) $$\prod_{n=1}^\infty (1-q^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kq^{k(3k-1)/2} \label{penta}$$
• 급수로 표현하면 다음과 같다 $$(1-q)(1-q^2)(1-q^3) \cdots = 1 - q - q^2 + q^5 + q^7 - q^{12} - q^{15} + q^{22} + q^{26} + \cdots$$
• \ref{penta}는 오일러함수의 역으로 (거의) 데데킨트 에타함수 이다

 

q가 1에 가까울 때의 근사공식

(정리)

\(q\to 1\) 일 때,

\(F(q)= \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \exp(\frac{\pi^2}{6(1-q)})\)

 

(증명)

\(\log F(q)= \sum_{n=1}^\infty \log \frac {1}{1-q^n} =\sum_{m=1,n=1}^{\infty}\frac{q^{mn}}{m}=\sum_{m=1}\frac{q^m}{m(1-q^m)}\)

\(1-q^m=(1-q)(1+q+\cdots+q^{m-1})\)  와 \(0<q<1\) 을 이용하면,

\(mq^{m-1}(1-x)<1-q^m<m(1-q)\) 이다. 따라서,

\(\frac{1}{1-q}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{q^m}{m^2}< \sum_{n=1}^\infty \log \frac {1}{1-q^n} <\frac{1}{1-q}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{q}{m^2}\)

 

q가 1에 가까워질 때, 

\(\sum_{m=1}^{\infty}\frac{q^m}{m^2}\to \frac{\pi^2}{6}\),  \(\sum_{m=1}^{\infty}\frac{q}{m^2}\to \frac{\pi^2}{6}\)

이므로,

\(F(q)= \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \exp(\frac{\pi^2}{6(1-q)})\) ■

• \(q=e^{-\epsilon}\) 으로 두면 \(\epsilon\sim 0\) 일 때, \(1-q\sim \epsilon\) 이고  \(\prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \exp(\frac{\pi^2}{6\epsilon})=\exp(\frac{(2\pi)^2}{24\epsilon})\) 을 얻는다
  
• \(\pi^2/6\) 은 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)에 등장하는 수이다
  
• Hardy's book 'Ramanujan' on partition asymptotics
  

 

 

 

분할수의 근사공식

• 하디-라마누잔-라데마커 분할수 공식\[p(n) \approx \frac{1}{\pi\sqrt{2}}\frac{Ke^{K\sqrt{n}}}{4n}=\frac {e^{\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}}} {4\sqrt{3}n}\]
  

 

 

 

q-초기하급수 형태로의 표현

• q-초기하급수(q-hypergeometric series) 항목을 참조
  

 

(정리)

\(\sum_{n=0}^\infty p(n)q^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n}= \prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{-1} =1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^n}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\)

 

(증명)

오일러의 무한곱공식을 적용.

\(\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1-zq^n}=\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\) ■

 

 

(정리) (Durfee square identity)

 

 

 

 

데데킨트 에타함수

• 데데킨트 에타함수
  

 

 

재미있는 사실

 

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
• 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=

 

 

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표
•  

 

 

 

 

관련된 항목들

• 데데킨트 에타함수
  

 

 

수학용어번역

• http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

 

 

관련논문

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://dx.doi.org/