P진 해석학(p-adic analysis)

개요

• 실수체는 유리수체로부터 완비성을 갖도록 해줌으로써 구성됨
• 그러나 실수체만이 유리수체의 완비화를 통해 얻어지는 것은 아님.
• 완비성을 갖도록 해주기 위해서는 먼저 유리수 사이에 거리의 개념이 필요
  • 유리수체 위의 거리는 각 소수 p에 대응되는 거리의 개념과, 잘 알려진 (실수를 만드는) 절대값이 존재

유리수체에 정의할 수 있는 거리의 개념

• 실수에서의 절대값\[|x|=0 \iff x=0\]\[|xy|=|x||y|\]\[|x+y|\leq |x|+|y|\] (삼각부등식)
• p-adic 절대값\[|x|_{p}=0 \iff x=0\]\[|xy|_{p}=|x|_{p}|y|_{p}\]\[|x+y|_{p}\leq |x|_{p}+|y|_{p}\] 뿐만 아니라, \(|x+y|_{p}\leq \operatorname{max} \{|x|_{p},|y|_{p}\}\)가 성립한다.

유리수의 p진 전개

• 주어진 소수 p에 대하여, 모든 유리수를 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다 (p진법 전개)

\[\sum_{k=n}^{\infty}b_{k}p^{k},\,b_k\in\{0,1,\cdots,p-1\}\]

• 정수 k가 커질수록, \(p^{k}\) 는 p진체에서 점점 0에 가까워진다
• 2-adic field에서는, \(1+2+4+8+16+32 +\cdots = \cdots 11111_{2}=-1\) 이 성립함.
• 3-adic field에서는 \(2+2\cdot3+2\cdot3^{2}+2\cdot3^{2}\cdots=\cdots 22222_{3}=-1\)
• 7-adic field에서는 \(4+3\cdot 7 +3\cdot 49+\cdots=\cdots 3334_{7} = 1/2\)

실수의 십진법 표현과의 비교

• 오른쪽으로 무한개의 소수자리
• 왼쪽으로 ...

로랑급수와의 유사성

• 로랑급수\[\frac{a_{-3}}{x^3}+\frac{a_{-2}}{x^2}+\frac{a_{-1}}{x}+a_0+ a_1 x+ a_2 x^2+ a_3x^3+ a_4x^4+\cdots\] 에서 고차항은 급수의 국소적인 행동에 작은 영향

다항식의 해

• \(\mathbb{Q}_{5}\) 에서 방정식 \(x^2+1=0\)의 두 해는 다음과 같다 \(2+5+2\ 5^2+5^3+3\ 5^4+4\ 5^5+2\ 5^6+3\ 5^7+\cdots\)\[x=2+5+2\times 5^2+5^3+3\times 5^4+4\times 5^5+2\times 5^6+3\times 5^7+\cdots\]\[x=3+3\times 5+2\times 5^2+3\times 5^3+5^4+2\times 5^6+5^7+4\times 5^8+\cdots\]

하위주제들

• p-adic 디리클레 L-함수
• p-adic 감마함수

역사

• 1897년 쿠르트 헨젤이 개념을 도입
• 1913년 헨젤 ㅋ뫼두소대갿
• 1920년 Hasse principle

관련된 항목들

• 이진법
• 프랙탈
• 유한체에서 정수계수 다항식의 분해

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/P진수
• http://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_number
• http://en.wikipedia.org/wiki/p-adic_analysis
• http://en.wikipedia.org/wiki/Valuation_(algebra)
• http://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_value_(algebra)
• http://en.wikipedia.org/wiki/Ultrametric
• http://en.wikipedia.org/wiki/Hensel's_lemma
• http://en.wikipedia.org/wiki/Witt_vector

관련도서

• Neal Koblitz p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Function, Springer, 1996

관련논문

• The Solution of p-Adic Equations
  • H. S. Thurston, The American Mathematical Monthly, Vol. 50, No. 3 (Mar., 1943), pp. 142-148
• Pictures of Ultrametric Spaces, the p-Adic Numbers, and Valued Fields
  • Jan E. Holly, The American Mathematical Monthly, Vol. 108, No. 8 (Oct., 2001), pp. 721-728
• Does σ∞ n=0 1/n! Really Converge? Infinite Series and p-adic Analysis
  • [1]Edward B. Burger and Thomas StruppeckThe American Mathematical Monthly, Vol. 103, No. 7 (Aug. - Sep., 1996), pp. 565-577
• Visualizing the p-adic Integers
  • Albert A. Cuoco, The American Mathematical Monthly, Vol. 98, No. 4 (Apr., 1991), pp. 355-364
• P-Adic Binomial Coefficients $\operatorname{MOD} P$
  • Roger C. AlperinThe American Mathematical Monthly, Vol. 92, No. 8 (Oct., 1985), pp. 576-578
• The p-Adic Approach to Solutions of Equations Over Finite Fields
  • Neal KoblitzThe American Mathematical Monthly, Vol. 87, No. 2 (Feb., 1980), pp. 115-118
• An Elementary Example of a Transcendental p-adic Number
  • Glen H. Suter, Mathematics Magazine, Vol. 49, No. 1 (Jan., 1976), p. 42
• The p-Adic Numbers of Hensel
  • C. C. MacDuffee, The American Mathematical Monthly, Vol. 45, No. 8 (Oct., 1938), pp. 500-508