"정이십면체와 모듈라 연분수"의 두 판 사이의 차이
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* syzygy relation:<math>1728F_1^5-F_2^3-F_3^2=0</math> 또는 <math>1728V^5-E^2-F^3=0</math> | * syzygy relation:<math>1728F_1^5-F_2^3-F_3^2=0</math> 또는 <math>1728V^5-E^2-F^3=0</math> | ||
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| − | * | + | * edge points:<math>r(\frac{a\cdot i+b}{c\cdot i+d})</math>는 edge points 즉 <math>E=(z_1^{30}+z_2^{30})+522(z_1^{25}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{25})-10005(z_1^{20}z_2^{10}+z_1^{10}z_2^{20})</math>의 해이다. :<math>r(i)={\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}</math> |
| − | * face points:<math>r(\frac{a\cdot \rho+b}{c\cdot \rho+d})</math> | + | * face points:<math>r(\frac{a\cdot \rho+b}{c\cdot \rho+d})</math> 는 face points 즉 <math>F=-(z_1^{20}+z_2^{20})+228(z_1^{15}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{15})-494z_1^{10}z_2^{10}</math>의 해이다. :<math>r(\rho)=e^{-\frac{\pi i}{5}}\frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}-3-\sqrt{5}}{4}</math> |
| − | * vertex points:<math>5\not | d</math> | + | * vertex points:<math>5\not | d</math> 일 때, <math>r(\frac{a\cdot 0 +b}{c\cdot 0+d})=r(\frac{b}{d})</math> 는 vertex points 즉 <math>V=z_1z_2(z_1^{10}+11z_1^5z_2^5-z_2^{10})</math>의 해이다. |
| − | * | + | * 위에서 <math>z=[z_1:z_2]=\frac{z_1}{z_2}</math> 로 이해한다 |
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:<math>(r(\tau)^{20}-228r(\tau)^{15}+494r(\tau)^{10}+228r(\tau)^{5}+1)^3+j(\tau)r(\tau)^{5}(r(\tau)^{10}+11r(\tau)^{5}-1)^5=0</math> | :<math>(r(\tau)^{20}-228r(\tau)^{15}+494r(\tau)^{10}+228r(\tau)^{5}+1)^3+j(\tau)r(\tau)^{5}(r(\tau)^{10}+11r(\tau)^{5}-1)^5=0</math> | ||
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:<math>j(\tau)=-\frac{(r(\tau)^{20}-228r(\tau)^{15}+494r(\tau)^{10}+228r(\tau)^{5}+1)^3}{r(\tau)^{5}(r(\tau)^{10}+11r(\tau)^{5}-1)^5}</math> | :<math>j(\tau)=-\frac{(r(\tau)^{20}-228r(\tau)^{15}+494r(\tau)^{10}+228r(\tau)^{5}+1)^3}{r(\tau)^{5}(r(\tau)^{10}+11r(\tau)^{5}-1)^5}</math> | ||
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:<math>V=z_1z_2(z_1^{10}+11z_1^5z_2^5-z_2^{10})</math> | :<math>V=z_1z_2(z_1^{10}+11z_1^5z_2^5-z_2^{10})</math> | ||
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| − | :<math>J(z)=1728-\frac{E(z)^2}{V(z)^5}=\frac{F(z)^3}{V(z)^5}= -\frac{(z^{20}-228z^{15}+494z^{10}+228z^{5}+1)^3}{z^{5}(z^{10}+11z^{5}-1)^5}</math>는 [[정이십면체 뫼비우스 변환군]] | + | :<math>J(z)=1728-\frac{E(z)^2}{V(z)^5}=\frac{F(z)^3}{V(z)^5}= -\frac{(z^{20}-228z^{15}+494z^{10}+228z^{5}+1)^3}{z^{5}(z^{10}+11z^{5}-1)^5}</math>는 [[정이십면체 뫼비우스 변환군]] <math>G_{60}=\langle S,T\rangle</math>에 의해 불변이다. |
| − | + | 따라서 | |
| − | :<math>J(r(\tau))=-\frac{(r(\tau)^{20}-228r(\tau)^{15}+494r(\tau)^{10}+228r(\tau)^{5}+1)^3}{r(\tau)^{5}(r(\tau)^{10}+11r(\tau)^{5}-1)^5}</math> | + | :<math>J(r(\tau))=-\frac{(r(\tau)^{20}-228r(\tau)^{15}+494r(\tau)^{10}+228r(\tau)^{5}+1)^3}{r(\tau)^{5}(r(\tau)^{10}+11r(\tau)^{5}-1)^5}</math> 는 [[모듈라 군(modular group)]]에 의하여 불변이고, 모듈라 함수가 된다. |
| − | 즉, | + | 즉, <math>g\in\Gamma</math>에 대하여 <math>J(r(g\tau))=J(r(\tau))</math>가 성립한다. |
| − | + | 한편 <math>\tau\in\mathbb{H}</math> 일때 <math>V(r(\tau))\neq0 </math>이므로, <math>J(r(\tau))</math>는 <math>\tau\in\mathbb{H}</math>에 대하여 해석함수가 된다. | |
| − | :<math>J(z)=\frac{F(z)^3}{V(z)^5}=-\frac{(z^{20}-228z^{15}+494z^{10}+228z^{5}+1)^3}{z^{5}(z^{10}+11z^{5}-1)^5}</math> | + | :<math>J(z)=\frac{F(z)^3}{V(z)^5}=-\frac{(z^{20}-228z^{15}+494z^{10}+228z^{5}+1)^3}{z^{5}(z^{10}+11z^{5}-1)^5}</math> 로부터 <math>J(r(\tau))</math>는 <math>\tau=i\infty</math>에서 단순pole을 가지며, <math>J(r(i))=1728</math>, <math>J(r(\rho))=0</math> 임도 알 수 있다. |
| − | + | 따라서 <math>J(r(\tau))</math>는 [[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)|타원 모듈라 j-함수 (j-invariant)]]이다. ■ | |
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==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
2020년 12월 28일 (월) 03:54 기준 최신판
개요
- 클라인의 오차방정식과 정이십면체 이론과 관계
- \(\Gamma(5)\) 에 대한 모듈라 함수론
- 로저스-라마누잔 연분수 가 등장
정이십면체 뫼비우스 변환군의 불변량
- 정이십면체 뫼비우스 변환군
- vertex points
- \(F_1=z_1z_2(z_1^{10}+11z_1^5z_2^5-z_2^{10})\)
- face points
- \(F_2=-(z_1^{20}+z_2^{20})+228(z_1^{15}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{15})-494z_1^{10}z_2^{10}\)
- edge points
- \(F_3=(z_1^{30}+z_2^{30})+522(z_1^{25}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{25})-10005(z_1^{20}z_2^{10}+z_1^{10}z_2^{20})\)
- syzygy relation\[1728F_1^5-F_2^3-F_3^2=0\] 또는 \(1728V^5-E^2-F^3=0\)
로저스-라마누잔 연분수의 singular moduli
- edge points\[r(\frac{a\cdot i+b}{c\cdot i+d})\]는 edge points 즉 \(E=(z_1^{30}+z_2^{30})+522(z_1^{25}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{25})-10005(z_1^{20}z_2^{10}+z_1^{10}z_2^{20})\)의 해이다. \[r(i)={\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}\]
- face points\[r(\frac{a\cdot \rho+b}{c\cdot \rho+d})\] 는 face points 즉 \(F=-(z_1^{20}+z_2^{20})+228(z_1^{15}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{15})-494z_1^{10}z_2^{10}\)의 해이다. \[r(\rho)=e^{-\frac{\pi i}{5}}\frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}-3-\sqrt{5}}{4}\]
- vertex points\[5\not | d\] 일 때, \(r(\frac{a\cdot 0 +b}{c\cdot 0+d})=r(\frac{b}{d})\) 는 vertex points 즉 \(V=z_1z_2(z_1^{10}+11z_1^5z_2^5-z_2^{10})\)의 해이다.
- 위에서 \(z=[z_1:z_2]=\frac{z_1}{z_2}\) 로 이해한다
j-invariant 와의 관계
(정리) \[(r(\tau)^{20}-228r(\tau)^{15}+494r(\tau)^{10}+228r(\tau)^{5}+1)^3+j(\tau)r(\tau)^{5}(r(\tau)^{10}+11r(\tau)^{5}-1)^5=0\] 또는 \[j(\tau)=-\frac{(r(\tau)^{20}-228r(\tau)^{15}+494r(\tau)^{10}+228r(\tau)^{5}+1)^3}{r(\tau)^{5}(r(\tau)^{10}+11r(\tau)^{5}-1)^5}\] 여기서, \(j(\tau)\) 는 타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)
(증명)
정이십면체 뫼비우스 변환군5차방정식과 정이십면체에서 얻은 다음 결과들을 사용하자. \[V=z_1z_2(z_1^{10}+11z_1^5z_2^5-z_2^{10})\] \[E=(z_1^{30}+z_2^{30})+522(z_1^{25}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{25})-10005(z_1^{20}z_2^{10}+z_1^{10}z_2^{20})\] \[F=-(z_1^{20}+z_2^{20})+228(z_1^{15}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{15})-494z_1^{10}z_2^{10}\] \[1728V^5-E^2-F^3=0\] \[J(z)=1728-\frac{E(z)^2}{V(z)^5}=\frac{F(z)^3}{V(z)^5}= -\frac{(z^{20}-228z^{15}+494z^{10}+228z^{5}+1)^3}{z^{5}(z^{10}+11z^{5}-1)^5}\]는 정이십면체 뫼비우스 변환군 \(G_{60}=\langle S,T\rangle\)에 의해 불변이다.
따라서 \[J(r(\tau))=-\frac{(r(\tau)^{20}-228r(\tau)^{15}+494r(\tau)^{10}+228r(\tau)^{5}+1)^3}{r(\tau)^{5}(r(\tau)^{10}+11r(\tau)^{5}-1)^5}\] 는 모듈라 군(modular group)에 의하여 불변이고, 모듈라 함수가 된다.
즉, \(g\in\Gamma\)에 대하여 \(J(r(g\tau))=J(r(\tau))\)가 성립한다.
한편 \(\tau\in\mathbb{H}\) 일때 \(V(r(\tau))\neq0 \)이므로, \(J(r(\tau))\)는 \(\tau\in\mathbb{H}\)에 대하여 해석함수가 된다. \[J(z)=\frac{F(z)^3}{V(z)^5}=-\frac{(z^{20}-228z^{15}+494z^{10}+228z^{5}+1)^3}{z^{5}(z^{10}+11z^{5}-1)^5}\] 로부터 \(J(r(\tau))\)는 \(\tau=i\infty\)에서 단순pole을 가지며, \(J(r(i))=1728\), \(J(r(\rho))=0\) 임도 알 수 있다.
따라서 \(J(r(\tau))\)는 타원 모듈라 j-함수 (j-invariant)이다. ■
메모
- http://library.wolfram.com/examples/quintic/main.html
- http://mathworld.wolfram.com/IcosahedralEquation.html
관련된 항목들
관련논문
- Bagis, Nikos. “On the Complete Solution of the General Quintic Using Rogers-Ramanujan Continued Fraction.” arXiv:1510.00068 [math], September 30, 2015. http://arxiv.org/abs/1510.00068.