"3차원 공간의 회전과 SO(3)"의 두 판 사이의 차이

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*  단위구면의 회전으로부터 [[평사 투영(stereographic projection)|stereographic projection]] 을 통해 다음과 같은 [[뫼비우스 변환군과 기하학|뫼비우스 변환]] 을 얻을 수 있다<br><math>f(z)=\frac{\alpha z+\beta}{-\overline{\beta}z+\overline{\alpha}}</math><br> 여기서 <math>\alpha,\beta\in\mathbf{C}, |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1</math><br>
 
*  단위구면의 회전으로부터 [[평사 투영(stereographic projection)|stereographic projection]] 을 통해 다음과 같은 [[뫼비우스 변환군과 기하학|뫼비우스 변환]] 을 얻을 수 있다<br><math>f(z)=\frac{\alpha z+\beta}{-\overline{\beta}z+\overline{\alpha}}</math><br> 여기서 <math>\alpha,\beta\in\mathbf{C}, |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1</math><br>
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*  더 구체적으로 위의<br>  <br>
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*  더 구체적으로 단위벡터 <math>(a,b,c)</math> 를 축으로 하여 <math>\theta</math> 만큼 회전시키는 변환은 다음 뫼비우스 변환에 대응된다<br><math>f(z)=\frac{i a \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)-b \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)+z \left(\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)+i c \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)}{z \left(b \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)+i a \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)-c \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)+\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)}</math><br>  <br>
  
 
 
 
 

2011년 12월 3일 (토) 06:24 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요

 

 

 

로드리게스 공식
  • 3차원에서 단위벡터 \((\omega _x,\omega _y,\omega _z)\) 를 축으로 하여 \(\theta\) 만큼 회전시키는 변환의 행렬표현
    \(\left( \begin{array}{ccc} \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _x^2 & (1-\cos (\theta )) \omega _x \omega _y-\sin (\theta ) \omega _z & \sin (\theta ) \omega _y-(\cos (\theta )-1) \omega _x \omega _z \\ (1-\cos (\theta )) \omega _x \omega _y+\sin (\theta ) \omega _z & \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _y^2 & -\sin (\theta ) \omega _x-(\cos (\theta )-1) \omega _y \omega _z \\ -\sin (\theta ) \omega _y-(\cos (\theta )-1) \omega _x \omega _z & \sin (\theta ) \omega _x-(\cos (\theta )-1) \omega _y \omega _z & \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _z^2 \end{array} \right)\)
  • 로드리게스 공식 http://www.cs.berkeley.edu/~ug/slide/pipeline/assignments/as5/rotation.html

 

 

projective representation
  • 단위구면의 회전으로부터 stereographic projection 을 통해 다음과 같은 뫼비우스 변환 을 얻을 수 있다
    \(f(z)=\frac{\alpha z+\beta}{-\overline{\beta}z+\overline{\alpha}}\)
    여기서 \(\alpha,\beta\in\mathbf{C}, |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1\)
  • 더 구체적으로 단위벡터 \((a,b,c)\) 를 축으로 하여 \(\theta\) 만큼 회전시키는 변환은 다음 뫼비우스 변환에 대응된다
    \(f(z)=\frac{i a \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)-b \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)+z \left(\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)+i c \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)}{z \left(b \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)+i a \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)-c \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)+\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)}\)
     

 

 

무한소 회전
  • 리대수의 생성원

 

\(L_{x}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)\)

\(L_{y}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{array} \right)\)

\(L_{z}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\)

 

 

 

 

역사

 

 

 

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