"베버(Weber) 모듈라 함수"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
==개요== | ==개요== | ||
| − | + | * 모듈라 함수 | |
* 베버의 class invariant 라는 이름으로 잘 알려져 있으며, 베버는 Schläfli 함수로 불렀음 | * 베버의 class invariant 라는 이름으로 잘 알려져 있으며, 베버는 Schläfli 함수로 불렀음 | ||
* class field theory에서 중요한 역할 | * class field theory에서 중요한 역할 | ||
| 9번째 줄: | 9번째 줄: | ||
==정의== | ==정의== | ||
| − | + | * 다음과 같이 세 함수를 정의 | |
| − | <math>\mathfrak{f}(\tau)=\frac{e^{-\frac{\pi i}{24}}\eta(\frac{\tau+1}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})</math> | + | :<math>\mathfrak{f}(\tau)=\frac{e^{-\frac{\pi i}{24}}\eta(\frac{\tau+1}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})</math> |
| − | + | :<math>\mathfrak{f}_ 1(\tau)=\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n-\frac{1}{2}})</math> | |
| − | <math>\mathfrak{f}_ 1(\tau)=\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n-\frac{1}{2}})</math> | + | :<math>\mathfrak{f}_ 2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})</math> |
| − | |||
| − | <math>\mathfrak{f}_ 2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})</math> | ||
| − | + | ==모듈라 성질== | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | * <math>\mathfrak{f}(\tau+1)=\zeta_{48}^{-1}\mathfrak{f}_ 1(\tau)</math> | |
| + | * <math>\mathfrak{f}_ 1(\tau+1)=\zeta_{48}^{-1}\mathfrak{f}(\tau)</math> | ||
| + | * <math>\mathfrak{f}_ 2(\tau+1)=\zeta_{24}\mathfrak{f}_ 2(\tau)</math> | ||
| + | * <math>\mathfrak{f}(-\frac{1}{\tau})=\mathfrak{f}(\tau)</math> | ||
| + | * <math>\mathfrak{f}_ 1(-\frac{1}{\tau})=\mathfrak{f}_ 2(\tau)</math> | ||
| + | * <math>\mathfrak{f}_ 2(-\frac{1}{\tau})=\mathfrak{f}_ 1(\tau)</math> | ||
| − | |||
==항등식== | ==항등식== | ||
| − | + | * 다음의 항등식을 만족한다 | |
| − | + | :<math>\mathfrak{f}_ 1(2\tau)\mathfrak{f}_ 2(\tau)=\sqrt2</math> | |
| − | + | :<math>\mathfrak{f}(\tau)\mathfrak{f}_ 1(\tau)\mathfrak{f}_ 2(\tau)=\sqrt2</math> | |
| − | + | :<math>\mathfrak{f}(\tau)^8=\mathfrak{f}_ 1(\tau)^8+\mathfrak{f}_ 2(\tau)^8</math> | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ==j-불변량과의 관계== | |
| − | ==j- | + | * [[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)]] |
| + | * <math>\mathfrak{f}(\tau)^{24}</math>, <math>-\mathfrak{f}_ 1(\tau)^{24}</math>, <math>-\mathfrak{f}_ 2(\tau)^{24}</math>는 <math>(x-16)^3-j(\tau)x=0</math> 의 근이다 | ||
| + | * 다음의 관계가 성립한다 | ||
| + | :<math>\gamma_2(\tau)=\frac{\mathfrak{f}(\tau)^{24}-16}{\mathfrak{f}(\tau)^8}=\sqrt[3]{j(\tau)}</math> | ||
| + | :<math>\gamma_3(\tau)= \frac{(\mathfrak{f}(z)^{24} + 8) (\mathfrak{f}_ 1(z)^8 - \mathfrak{f}_ 2(z)^8)}{\mathfrak{f}(z)^8}=\sqrt{j(\tau)-1728}</math> | ||
| + | 여기서 <math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})</math> 는 [[데데킨트 에타함수]] | ||
| − | |||
| − | |||
| 63번째 줄: | 53번째 줄: | ||
==special values== | ==special values== | ||
| − | + | * [[타원 모듈라 j-함수의 singular moduli]] | |
| − | * <math>\mathfrak{f}(i)^8=4</math | + | * <math>\mathfrak{f}(i)^8=4</math> |
| − | * <math>\mathfrak{f}_ 1(i)^8=2</math | + | * <math>\mathfrak{f}_ 1(i)^8=2</math> |
| − | * <math>\mathfrak{f}_ 2(i)^8=2</math | + | * <math>\mathfrak{f}_ 2(i)^8=2</math> |
| − | * <math>\mathfrak{f}_ 1(2i)^8=8</math> | + | * <math>\mathfrak{f}_ 1(2i)^8=8</math> |
| − | |||
| − | |||
| − | == | + | ==q-초기하급수 표현== |
| − | + | * [[로저스-라마누잔 항등식]]과 유사하게 q-초기하급수 표현이 존재한다 | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
* [[Q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus)|q-초기하급수(q-hypergeometric series)]] 의 공식:<math>\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n</math> | * [[Q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus)|q-초기하급수(q-hypergeometric series)]] 의 공식:<math>\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n</math> | ||
* <math>z=q^{1/2}</math> 인 경우 | * <math>z=q^{1/2}</math> 인 경우 | ||
| 96번째 줄: | 68번째 줄: | ||
:<math>\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{2n-1})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2}}{(1-q^2)(1-q^4)\cdots(1-q^{2n})} </math> | :<math>\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{2n-1})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2}}{(1-q^2)(1-q^4)\cdots(1-q^{2n})} </math> | ||
* <math>z=q</math> 인 경우 | * <math>z=q</math> 인 경우 | ||
| − | :<math>\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}q^n=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}</math | + | :<math>\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}q^n=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}</math> |
* 위의 결과로부터 다음을 얻을 수 있다 | * 위의 결과로부터 다음을 얻을 수 있다 | ||
:<math>\mathfrak{f}(2\tau)=q^{-1/24}\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{2n-1})=q^{-1/24}\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2}}{(1-q^2)(1-q^4)\cdots(1-q^{2n})}</math> | :<math>\mathfrak{f}(2\tau)=q^{-1/24}\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{2n-1})=q^{-1/24}\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2}}{(1-q^2)(1-q^4)\cdots(1-q^{2n})}</math> | ||
| − | :<math>\mathfrak{f}_ 2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})=\sqrt{2}q^{1/24}\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}</math> | + | :<math>\mathfrak{f}_ 2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})=\sqrt{2}q^{1/24}\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}</math> |
| + | |||
==역사== | ==역사== | ||
| 117번째 줄: | 90번째 줄: | ||
==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
| − | * [[라마누잔의 class invariants]] | + | * [[라마누잔의 class invariants]] |
| − | * [[데데킨트 에타함수]] | + | * [[데데킨트 에타함수]] |
| − | * [[로저스-라마누잔 | + | * [[로저스-라마누잔 항등식]] |
* [[Q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus)]] | * [[Q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus)]] | ||
| − | * [[자코비 세타함수]] | + | * [[자코비 세타함수]] |
| − | * [[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, | + | * [[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)]] |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| + | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ||
| + | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxeVNNb0I3Qk5nd0k/edit | ||
| 146번째 줄: | 107번째 줄: | ||
==관련논문== | ==관련논문== | ||
| − | * [http://jtnb.cedram.org/item?id=JTNB_2002__14_1_325_0 Weber's class invariants revisited] | + | * [http://jtnb.cedram.org/item?id=JTNB_2002__14_1_325_0 Weber's class invariants revisited] |
** Reinhard Schertz, Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 14 no. 1 (2002), p. 325-343 | ** Reinhard Schertz, Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 14 no. 1 (2002), p. 325-343 | ||
| − | * [http://www.ams.org/mcom/1997-66-220/S0025-5718-97-00854-5/ On The Singular Values Of Weber Modular Functions] | + | * [http://www.ams.org/mcom/1997-66-220/S0025-5718-97-00854-5/ On The Singular Values Of Weber Modular Functions] |
** Noriko Yui , Don Zagier, Math. Comp. 66 (1997), 1645-1662 | ** Noriko Yui , Don Zagier, Math. Comp. 66 (1997), 1645-1662 | ||
| − | * [http://dx.doi.org/10.1112/S0025579300008251 Weber's Class Invariants] | + | * [http://dx.doi.org/10.1112/S0025579300008251 Weber's Class Invariants] |
** B. J. Birch, Mathematika 16 (1969) | ** B. J. Birch, Mathematika 16 (1969) | ||
| − | |||
| − | |||
| 160번째 줄: | 119번째 줄: | ||
==관련도서== | ==관련도서== | ||
| − | * 베버의 책 | + | * 베버의 책 |
** [http://digital.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;cc=math;view=toc;subview=short;idno=06740001 Elliptische functionen und algebraische zahlen] (1891). [http://www.amazon.com/dp/1429701919?tag=corneunivelib-20 available in print] | ** [http://digital.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;cc=math;view=toc;subview=short;idno=06740001 Elliptische functionen und algebraische zahlen] (1891). [http://www.amazon.com/dp/1429701919?tag=corneunivelib-20 available in print] | ||
** [http://digital.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;cc=math;view=toc;subview=short;idno=webe031 Lehrbuch der Algebra (Volume 1)] (1898). [http://astech.library.cornell.edu/ast/math/additional/Digital-Books.cfm available in print] | ** [http://digital.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;cc=math;view=toc;subview=short;idno=webe031 Lehrbuch der Algebra (Volume 1)] (1898). [http://astech.library.cornell.edu/ast/math/additional/Digital-Books.cfm available in print] | ||
2013년 4월 10일 (수) 12:48 판
개요
- 모듈라 함수
- 베버의 class invariant 라는 이름으로 잘 알려져 있으며, 베버는 Schläfli 함수로 불렀음
- class field theory에서 중요한 역할
- q-초기하급수의 형태로 표현됨
정의
- 다음과 같이 세 함수를 정의
\[\mathfrak{f}(\tau)=\frac{e^{-\frac{\pi i}{24}}\eta(\frac{\tau+1}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})\] \[\mathfrak{f}_ 1(\tau)=\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n-\frac{1}{2}})\] \[\mathfrak{f}_ 2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})\]
모듈라 성질
- \(\mathfrak{f}(\tau+1)=\zeta_{48}^{-1}\mathfrak{f}_ 1(\tau)\)
- \(\mathfrak{f}_ 1(\tau+1)=\zeta_{48}^{-1}\mathfrak{f}(\tau)\)
- \(\mathfrak{f}_ 2(\tau+1)=\zeta_{24}\mathfrak{f}_ 2(\tau)\)
- \(\mathfrak{f}(-\frac{1}{\tau})=\mathfrak{f}(\tau)\)
- \(\mathfrak{f}_ 1(-\frac{1}{\tau})=\mathfrak{f}_ 2(\tau)\)
- \(\mathfrak{f}_ 2(-\frac{1}{\tau})=\mathfrak{f}_ 1(\tau)\)
항등식
- 다음의 항등식을 만족한다
\[\mathfrak{f}_ 1(2\tau)\mathfrak{f}_ 2(\tau)=\sqrt2\] \[\mathfrak{f}(\tau)\mathfrak{f}_ 1(\tau)\mathfrak{f}_ 2(\tau)=\sqrt2\] \[\mathfrak{f}(\tau)^8=\mathfrak{f}_ 1(\tau)^8+\mathfrak{f}_ 2(\tau)^8\]
j-불변량과의 관계
- 타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)
- \(\mathfrak{f}(\tau)^{24}\), \(-\mathfrak{f}_ 1(\tau)^{24}\), \(-\mathfrak{f}_ 2(\tau)^{24}\)는 \((x-16)^3-j(\tau)x=0\) 의 근이다
- 다음의 관계가 성립한다
\[\gamma_2(\tau)=\frac{\mathfrak{f}(\tau)^{24}-16}{\mathfrak{f}(\tau)^8}=\sqrt[3]{j(\tau)}\] \[\gamma_3(\tau)= \frac{(\mathfrak{f}(z)^{24} + 8) (\mathfrak{f}_ 1(z)^8 - \mathfrak{f}_ 2(z)^8)}{\mathfrak{f}(z)^8}=\sqrt{j(\tau)-1728}\] 여기서 \(\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})\) 는 데데킨트 에타함수
special values
- 타원 모듈라 j-함수의 singular moduli
- \(\mathfrak{f}(i)^8=4\)
- \(\mathfrak{f}_ 1(i)^8=2\)
- \(\mathfrak{f}_ 2(i)^8=2\)
- \(\mathfrak{f}_ 1(2i)^8=8\)
q-초기하급수 표현
- 로저스-라마누잔 항등식과 유사하게 q-초기하급수 표현이 존재한다
- q-초기하급수(q-hypergeometric series) 의 공식\[\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\]
- \(z=q^{1/2}\) 인 경우
\[\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} (q^{1/2})^n=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} \] \[\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{2n-1})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2}}{(1-q^2)(1-q^4)\cdots(1-q^{2n})} \]
- \(z=q\) 인 경우
\[\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}q^n=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\]
- 위의 결과로부터 다음을 얻을 수 있다
\[\mathfrak{f}(2\tau)=q^{-1/24}\prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{2n-1})=q^{-1/24}\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n^2}}{(1-q^2)(1-q^4)\cdots(1-q^{2n})}\] \[\mathfrak{f}_ 2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})=\sqrt{2}q^{1/24}\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n (n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\]
역사
메모
관련된 항목들
- 라마누잔의 class invariants
- 데데킨트 에타함수
- 로저스-라마누잔 항등식
- Q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus)
- 자코비 세타함수
- 타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)
매스매티카 파일 및 계산 리소스
관련논문
- Weber's class invariants revisited
- Reinhard Schertz, Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 14 no. 1 (2002), p. 325-343
- On The Singular Values Of Weber Modular Functions
- Noriko Yui , Don Zagier, Math. Comp. 66 (1997), 1645-1662
- Weber's Class Invariants
- B. J. Birch, Mathematika 16 (1969)
관련도서
- 베버의 책
- Elliptische functionen und algebraische zahlen (1891). available in print
- Lehrbuch der Algebra (Volume 1) (1898). available in print
- Lehrbuch der Algebra (Volume 2) (1898). available in print
- Lehrbuch der Algebra (Volume 3) (1898). available in print
- Theorie der Abelschen Functionen vom Geschlecht 3 (1876). available in print