3차원 공간의 회전과 SO(3)

3차원에서 단위벡터 \((\omega _x,\omega _y,\omega _z)\) 를 축으로 하여 \(\theta\) 만큼 회전시키는 변환의 행렬표현
\(\left( \begin{array}{ccc} \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _x^2 & (1-\cos (\theta )) \omega _x \omega _y-\sin (\theta ) \omega _z & \sin (\theta ) \omega _y-(\cos (\theta )-1) \omega _x \omega _z \\ (1-\cos (\theta )) \omega _x \omega _y+\sin (\theta ) \omega _z & \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _y^2 & -\sin (\theta ) \omega _x-(\cos (\theta )-1) \omega _y \omega _z \\ -\sin (\theta ) \omega _y-(\cos (\theta )-1) \omega _x \omega _z & \sin (\theta ) \omega _x-(\cos (\theta )-1) \omega _y \omega _z & \cos (\theta )-(\cos (\theta )-1) \omega _z^2 \end{array} \right)\)
로드리게스 공식 http://www.cs.berkeley.edu/~ug/slide/pipeline/assignments/as5/rotation.html

단위구면의 회전으로부터 stereographic projection 을 통해 다음과 같은 뫼비우스 변환 을 얻을 수 있다
\(f(z)=\frac{\alpha z+\beta}{-\overline{\beta}z+\overline{\alpha}}\)
여기서 \(\alpha,\beta\in\mathbf{C}, |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1\)
더 구체적으로 단위벡터 \((a,b,c)\) 를 축으로 하여 \(\theta\) 만큼 회전시키는 변환은 다음 뫼비우스 변환에 대응된다
\(f(z)=\frac{i a \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)-b \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)+z \left(\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)+i c \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)}{z \left(b \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)+i a \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)\right)-c \sin \left(\frac{\theta }{2}\right)+\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)}\)

\(L_{x}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right)\)

\(L_{y}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{array} \right)\)

\(L_{z}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\)

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