정이십면체와 모듈라 연분수

수학노트
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개요

 

 

정이십면체 뫼비우스 변환군의 불변량

  • 정이십면체 뫼비우스 변환군
  • vertex points
    • \(F_1=z_1z_2(z_1^{10}+11z_1^5z_2^5-z_2^{10})\)
  • face points
    • \(F_2=-(z_1^{20}+z_2^{20})+228(z_1^{15}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{15})-494z_1^{10}z_2^{10}\)
  • edge points
    • \(F_3=(z_1^{30}+z_2^{30})+522(z_1^{25}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{25})-10005(z_1^{20}z_2^{10}+z_1^{10}z_2^{20})\)
  • syzygy relation
    \(1728F_1^5-F_2^3-F_3^2=0\) 또는 \(1728V^5-E^2-F^3=0\)

 

 

로저스-라마누잔 연분수의 singular moduli

  • edge points
    \(r(\frac{a\cdot i+b}{c\cdot i+d})\)는 edge points 즉 \(E=(z_1^{30}+z_2^{30})+522(z_1^{25}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{25})-10005(z_1^{20}z_2^{10}+z_1^{10}z_2^{20})\)의 해이다. 
    \(r(i)={\sqrt{5+\sqrt{5}\over 2}-{\sqrt{5}+1\over 2}}\)
  • face points
    \(r(\frac{a\cdot \rho+b}{c\cdot \rho+d})\)  는 face points 즉 \(F=-(z_1^{20}+z_2^{20})+228(z_1^{15}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{15})-494z_1^{10}z_2^{10}\)의 해이다. 
    \(r(\rho)=e^{-\frac{\pi i}{5}}\frac{\sqrt{30+6\sqrt{5}}-3-\sqrt{5}}{4}\)
  • vertex points
    \(5\not | d\) 일 때, \(r(\frac{a\cdot 0 +b}{c\cdot 0+d})=r(\frac{b}{d})\) 는 vertex points 즉 \(V=z_1z_2(z_1^{10}+11z_1^5z_2^5-z_2^{10})\)의 해이다. 
  • 위에서 \(z=[z_1:z_2]=\frac{z_1}{z_2}\) 로 이해한다

 

 

j-invariant 와의 관계

(정리)   

\((r(\tau)^{20}-228r(\tau)^{15}+494r(\tau)^{10}+228r(\tau)^{5}+1)^3+j(\tau)r(\tau)^{5}(r(\tau)^{10}+11r(\tau)^{5}-1)^5=0\)

또는 \(j(\tau)=-\frac{(r(\tau)^{20}-228r(\tau)^{15}+494r(\tau)^{10}+228r(\tau)^{5}+1)^3}{r(\tau)^{5}(r(\tau)^{10}+11r(\tau)^{5}-1)^5}\)

여기서, \(j(\tau)\) 는 타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)

 

(증명)

정이십면체 뫼비우스 변환군5차방정식과 정이십면체에서 얻은 다음 결과들을 사용하자. 

\(V=z_1z_2(z_1^{10}+11z_1^5z_2^5-z_2^{10})\)

\(E=(z_1^{30}+z_2^{30})+522(z_1^{25}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{25})-10005(z_1^{20}z_2^{10}+z_1^{10}z_2^{20})\)

\(F=-(z_1^{20}+z_2^{20})+228(z_1^{15}z_2^{5}-z_1^{5}z_2^{15})-494z_1^{10}z_2^{10}\)

\(1728V^5-E^2-F^3=0\)

\(J(z)=1728-\frac{E(z)^2}{V(z)^5}=\frac{F(z)^3}{V(z)^5}= -\frac{(z^{20}-228z^{15}+494z^{10}+228z^{5}+1)^3}{z^{5}(z^{10}+11z^{5}-1)^5}\)는 정이십면체 뫼비우스 변환군 \(G_{60}=\langle S,T\rangle\)에 의해 불변이다. 

따라서 

\(J(r(\tau))=-\frac{(r(\tau)^{20}-228r(\tau)^{15}+494r(\tau)^{10}+228r(\tau)^{5}+1)^3}{r(\tau)^{5}(r(\tau)^{10}+11r(\tau)^{5}-1)^5}\) 는 모듈라 군(modular group)에 의하여 불변이고, 모듈라 함수가 된다.

즉, \(g\in\Gamma\)에 대하여 \(J(r(g\tau))=J(r(\tau))\)가 성립한다. 

한편 \(\tau\in\mathbb{H}\) 일때  \(V(r(\tau))\neq0 \)이므로,  \(J(r(\tau))\)는 \(\tau\in\mathbb{H}\)에 대하여 해석함수가 된다. 

\(J(z)=\frac{F(z)^3}{V(z)^5}=-\frac{(z^{20}-228z^{15}+494z^{10}+228z^{5}+1)^3}{z^{5}(z^{10}+11z^{5}-1)^5}\) 로부터 \(J(r(\tau))\)는  \(\tau=i\infty\)에서 단순pole을 가지며, \(J(r(i))=1728\), \(J(r(\rho))=0\) 임도 알 수 있다. 

따라서  \(J(r(\tau))\)는 타원 모듈라 j-함수 (j-invariant)이다.  ■

 

 

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