P진 해석학(p-adic analysis)

개요

실수체는 유리수체로부터 완비성을 갖도록 해줌으로써 구성됨
그러나 실수체만이 유리수체의 완비화를 통해 얻어지는 것은 아님.
완비성을 갖도록 해주기 위해서는 먼저 유리수 사이에 거리의 개념이 필요
- 유리수체 위의 거리는 각 소수 p에 대응되는 거리의 개념과, 잘 알려진 (실수를 만드는) 절대값이 존재

유리수체에 정의할 수 있는 거리의 개념

실수에서의 절대값

절대값은 다음의 성질을 만족한다

$|x|=0 \iff x=0$
$|xy|=|x||y|$
$|x+y|\leq |x|+|y|$ (삼각부등식)

p-adic 절대값

소수 $p$와 정수 $x$에 대하여, $\operatorname{ord}_p x$를 $a\equiv 0\pmod {p^m}$을 만족하는 최대의 $m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$으로 정의하자
유리수 $x=a/b$에 대해서는 $\operatorname{ord}_p x:=\operatorname{ord}_p a-\operatorname{ord}_p b$
유리수체 $\mathbb{Q}$위에 함수 $|\cdot|_p$를 다음과 같이 정의하자

$$ |x|_{p} = \begin{cases} \frac{1}{p^{\operatorname{ord}_p x}}, & \text{if $x\neq 0$;}\\ 0, & \text{if $x=0$} \\ \end{cases} $$

$|\cdot|_p$는 다음의 성질을 만족한다

$|x|_{p}=0 \iff x=0$
$|xy|_{p}=|x|_{p}|y|_{p}$
$|x+y|_{p}\leq |x|_{p}+|y|_{p}$ 뿐만 아니라, $|x+y|_{p}\leq \operatorname{max} \{|x|_{p},|y|_{p}\}$가 성립한다.

유리수의 p진 전개

주어진 소수 p에 대하여, 모든 유리수를 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다 (p진법 전개)

\[\sum_{k=n}^{\infty}b_{k}p^{k},\,b_k\in\{0,1,\cdots,p-1\}\]

정수 k가 커질수록, $p^{k}$ 는 p진체에서 점점 0에 가까워진다
2-adic field에서는, $1+2+4+8+16+32 +\cdots = \cdots 11111_{2}=-1$ 이 성립함.
3-adic field에서는 $2+2\cdot3+2\cdot3^{2}+2\cdot3^{2}\cdots=\cdots 22222_{3}=-1$
7-adic field에서는 $4+3\cdot 7 +3\cdot 49+\cdots=\cdots 3334_{7} = 1/2$

실수의 십진법 표현과의 비교

오른쪽으로 무한개의 소수자리
왼쪽으로 ...

로랑급수와의 유사성

로랑급수\[\frac{a_{-3}}{x^3}+\frac{a_{-2}}{x^2}+\frac{a_{-1}}{x}+a_0+ a_1 x+ a_2 x^2+ a_3x^3+ a_4x^4+\cdots\] 에서 고차항은 급수의 국소적인 행동에 작은 영향

다항식의 해

$\mathbb{Q}_{5}$ 에서 방정식 $x^2+1=0$의 두 해는 다음과 같다

\[x=2+5+2\times 5^2+5^3+3\times 5^4+4\times 5^5+2\times 5^6+3\times 5^7+\cdots\] \[x=3+3\times 5+2\times 5^2+3\times 5^3+5^4+2\times 5^6+5^7+4\times 5^8+\cdots\]

역사

1897년 쿠르트 헨젤이 개념을 도입
1913년 헨젤 zahlentheorie
1920년 Hasse principle

P진 해석학(p-adic analysis)

목차

개요

유리수체에 정의할 수 있는 거리의 개념

실수에서의 절대값

p-adic 절대값

유리수의 p진 전개

실수의 십진법 표현과의 비교

로랑급수와의 유사성

다항식의 해

역사

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