가우스-보네 정리

개요

곡면의 기하학적 성질과 위상적인 성질을 연결해 주는 정리.
학부 미분기하학의 가장 중요한 정리중 하나임.

국소적 가우스-보네 정리

\(T\) :곡면상의 영역, \(K\) : 가우스 곡률, \(\alpha_i\) : 꼭지점에서의 angle jump,\(k_g\) : 곡선의 측지곡률

\[\int_T K dA = 2\pi -\sum \alpha_i -\int_{\partial T}k_g ds\]

둘레가 측지선으로 이루어진 다각형 \(T\)의 경우에는 다음과 같이 단순화시킬 수 있음

\[\int_T K dA = 2\pi -\sum_{v\text{ : vertex}} \text{external angle at }v\]

대역적 가우스-보네 정리

정리

유향 컴팩트 곡면 \(M\)에 대하여, 다음이 성립한다 \[\int_M K dA= 2\pi\chi(M)\] 여기서 \(\chi(M)\)는 \(M\)의 오일러 특성수

대역적 가우스-보네 정리는 국소적인 가우스-보네 정리로부터 증명 가능

증명

먼저 곡면의 측지다각형으로의 분해를, \(M=T_1\cup \cdots \cup T_n\)으로 두자. 각 다각형 \(T_i\)에 대해 국소 가우스-보네 정리를 적용하여 다음을 얻는다 \[\int_{T_i} K dA = 2\pi -\sum_{v\text{ : vertex}} \text{external angle at }v\] 각 다각형에 대한 결과를 모두 더하여 다음을 얻는다. \[ \begin{align} \int_M K dA &= \sum_i \int_{T_i} K dA \\ &=2\pi F-\sum_{F\text{:faces}}\sum_{v \text{:vertex of }F} (\pi - \text{internal angle at }v)\\ &=2\pi F-\sum_{F\text{:faces}}\sum_{v \text{:vertex of }F}\pi - \sum_{F\text{:faces}}\sum_{v \text{:vertex of }F} \text{internal angle at }v\\ &=2\pi F-\sum_{F\text{:faces}}(\text{number of vertices of } F) \pi + 2\pi V \\ &=2\pi F-\sum_{F\text{:faces}}(\text{number of edges of } F) \pi+2\pi V \\ &=2\pi F-2\pi E +2 \pi V \\ &=2\pi\chi(M) \end{align} \]

(각각의 모서리는 두 번씩 세어짐) ■

일반화

천(Chern)에 의한 일반화

정리

\(2n\)차원 유향 컴팩트 다양체에 대하여, 다음이 성립한다 \[\int_M \mbox{Pf}(\Omega)=(2\pi)^n\chi(M)\ \] 여기서 \(\Omega\)는 곡률 형식, \(\mbox{Pf}\)는 파피안(Pfaffian)

가우스-보네 정리

목차

개요

국소적 가우스-보네 정리

대역적 가우스-보네 정리

일반화

메모

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