볼록다면체에 대한 데카르트 정리

수학노트
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개요

  • 다각형의 외각의 합
  • 다각형의 모양에 상관없이 그 외각의 합은 \(2\pi\)

    위의 그림에서 a,b,c,d,e가 각 점의 외각의 크기.
    이를 다 합하면 \(2\pi\)가 됨.
  • 다면체에 대해서도 비슷한 정리가 성립하며, 이를 다면체에 대한 데카르트 정리라고 부름
  • 다면체의 한 점에서의 결손각(angle defect)의 개념이 다각형의 외각에 대응



결손각(angle defect)과 정다면체

  • 결손각의 정의 :\(2\pi\)- (한 점에 모여있는 다각형들의 그 점에서의 각의 합)
  • 다음 표를 통해, 그 예를 볼 수 있음.
다면체 그림 V E F V-E+F 한점에서의 결손각 A 결손각의 총합 V × A
정사면체 Tetrahedron 4 6 4 4-6+4=2 \(2\pi-3\times \frac{\pi}{3}=\pi\) \(4\times \pi=4\pi\)
정육면체 Hexahedron (cube) 8 12 6 8-12+6=2 \(2\pi-3\times \frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\) \(8\times \frac{\pi}{2}=4\pi\)
정팔면체 Octahedron 6 12 8 6-12+8=2 \(2\pi-4\times \frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\) \(6\times \frac{2\pi}{3}=4\pi\)
정십이면체 Dodecahedron 20 30 12 20-30+12=2 \(2\pi-3\times \frac{3\pi}{5}=\frac{\pi}{5}\) \(20\times \frac{\pi}{5}=4\pi\)\(20\times\frac{\pi}{5}=4\pi\)
정이십면체 Icosahedron 12 30 20 12-30+20=2 \(2\pi-5\times \frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}\) \(12\times\frac{\pi}{3}=4\pi\)
  • 데카르트의 정리는 다면체의 각 점에서의 결손각의 총합이 \(2\pi\)라는 것.



증명

다면체의 점, 선, 면의 개수를 각각 V,E,F 라고 하자.

$n_k$를 다면체에 있는 k-각형의 개수라 하자. 다음과 같은 사실들을 사용하자.

  • 각 k각형의 내각의 합은 $(k-2)\pi$ 이다
  • 각 점에서의 결손각들을 모두 더하면 $2\pi V-\sum_{k\ge3}(k-2)\pi n_k$ 이다
  • $\sum_{k\ge3}k n_k = 2E$ 가 성립한다
    • 이는 각 변이 두번씩 세어지기 때문이다.
  • 오일러의 정리 $V-E+F=2$

따라서 결손각의 총합은 다음과 같이 쓰여진다. $$2\pi V-\sum_{k\ge3}(k-2)n_k=2\pi V-\sum_{k\ge3}kn_k+2\pi F=2\pi (V-E+F)=4\pi$$ ■

응용

  • 정십이면체의 점의 개수를 세는 경우의 응용.


점의 개수를 세지말고, 한 점에 정오각형이 세 개 모여있다는 것을 확인

정오각형의 한 점의 내각의 크기가 \({3\pi}/{5}\)

한 점에서의 결손각이 \({\pi}/{5}\)가 된다는 것을 알수 있음.

데카르트의 정리에 의해 \(4\pi\) 를 이 숫자로 나누면 점의 개수 20을 얻게 됨.



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