대수적 위상수학

수학노트
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개요

  • 대수적인 도구를 통해 위상적인 공간을 이해하는 법을 배움.
  • 곡면의 분류 정리, fundamental group, 덮개 공간 (covering space), 호몰로지 등을 공부함
  • 대학원 수준에서는 n차원 다양체를 대상으로 대수적으로 표현되는 위상적 불변량을 찾음.


 

선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들

  • 기초적인 일반위상수학
    • product space
    • quotient space
    • 연결, 컴팩트
  • 추상대수학
    • 군의 정의
    • 유한생성아벨군의 기본정리

 

 

다루는 대상

  • 곡면
  • Simplicial complex

 

 

중요한 개념 및 정리

  • 오일러의 정리
    • V-E+F = 2- 2g
  • 곡면의 분류 정리
    • 컴팩트 곡면
      • 종수와 orientability
    • 경계가 있는 곡면
      • 종수,orientability, 경계의 개수
  • 호모토피
    • 공간 사이에 주어진 하나의 연속함수를 '연속적으로 변화'시켜 다른 연속함수를 얻을 수 있을 때, 두 연속함수는 호모토픽하다고 말함.
      • 공간에 있는 하나의 루프를 연속적으로 변화시켜 점으로 만들 수 있다면, 호모토피의 관점에서 루프는 점과 같다고 말할 수 있음.
    • 이 '연속적인 변화'를 호모토피라 부름.

1954084-180px-Homotopy between two paths.png

  • fundamental group
    • 구면의 경우 모든 루프는 한 점과 호모토픽.
    • 도넛의 경우는 구면의 경우와는 달리, 점으로 만들수 없는 루프가 존재.
    • 호모토픽한 루프들을 모아서 호모토픽 클래스라고 부름.
    • 호모토픽 클래스들 사이에 연산을 주어, 군을 만들수 있음.
    • 이 군은 공간에 놓여진 루프들의 호모토피 클래스에 대한 정보를 담고 있음.
    • 위상적 공간의 정보를 담고 있는 대수적인 물건.
  • 단일연결된 공간(simply connected space)
    • 모든 루프가 점과 호모토픽한 경우, 그 공간은 단일연결되었다고 함.
      • 구면은 단일연결되어있음.
      • 도넛은 단일연결되어있지 않음.
    • 포앵카레의 추측
  • 덮개 공간 (covering space)
  • 보편 덮개 (universal covering)
  • Hairy ball theorem
  • 호몰로지

 

 

곡면의 fundamental group

  • 종수가 \(g\)인 닫힌 곡면의 fundamental group

\(\langle a_1,b_1, a_2, b_2, \cdots a_g, b_g \mid a_1 b_1 a_1^{-1} b_1^{-1}a_2 b_2 a_2^{-1} b_2^{-1}\cdots a_g b_g a_g^{-1} b_g^{-1}=1 \rangle\,\!\)

 

 

유명한 정리 혹은 생각할만한 문제

 

다른 과목과의 관련성

 

관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들

  • 대학원 수준의 대수적위상수학
  • 벡터번들
  • 호몰로지 대수
  • Characteristic class
  • 리만곡면론
    • Branched covering

 

표준적인 교과서

 

 

추천도서 및 보조교재

 

 

리뷰, 에세이, 강의노트


관련논문