브라우어 부동점 정리

수학노트
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개요

n차원 디스크와 n차원 구면을 \( D^n = \{x \in \mathbb{R}^n : \|x \| \le 1\} \), \(S^n = \{x \in \mathbb{R}^{n + 1} : \| x \| = 1\}\)와 같이 정의하자.

예 : 단위원은 \(S^1\), 단위원과 그 내부의 점의 집합은 \(D^2\)가 된다.

브라우어의 고정점 정리는 <연속인 함수 \(f \colon D^n \to D^n\)가 주어질 때, \(f(x)=x \)를 만족하는 \(x \in D^n\)가 적어도 하나 존재한다>는 정리이다.

간단한 경우를 보이는 것은 그렇게 어렵지 않으며, 일반적인 경우를 보이기 위해서는 호몰로지 군에 대한 지식이 필요하다.

\(n = 1\)인 경우

주어진 연속함수 \(f \colon [0, 1] \to [0,1]\)에 대해서 \(f(x) = x\)를 만족하는 \(x\)가 없다고 가정하자.

함수 \(g(x) = f(x) - x \)를 생각할 때, \(g(0) = f(0) >0 \), \(g(1) = f(1) - 1 < 0 \)이므로, 중간값 정리에 의해 \(g(t) = t\)인 \(t\)가 존재한다. 그러므로 \( f(t) = t\)이라서 모순.


\(n = 2\)인 경우

연속함수 \( f \colon D^2 \to D^2\)에 대해서, \( f(x) = x\)를 만족하는 \(x\)가 없다고 가정하자. \( g(x)\)를 \(f(x)\)에서 \( x\) 로 그은 직선이 \(S^1\)와 만나는 점으로 정의하면, \(g \colon D^2 \to S^1\)는 잘 정의되는 연속함수이고, \(x\)가 \(S^1\)의 원소이면 \(g(x) = x\)이다.

그러나 이런 성질을 만족하는 \(g\)는 존재하지 않는다. 만일 이런 \(g\)가 존재한다면, inclusion map \(i \colon S^1 \to D^2\)에 대해서 \( g \circ i = \operatorname{id}_{S^1}\)이므로, \(S^1 \stackrel{i}{\to} D^2\stackrel{g}{\to} S^1\)에 대해서 \( \pi_1(S^1, 1) \stackrel{i^*}{\to} \pi_1(D^2, 1) \stackrel{g^*}{\to}\pi_1(S^1, 1)\)를 만족하는 준동형사상(group homomorphism) \(i^*\), \(g^*\)가 존재해서 합성함수가 항등함수가 돼야 한다. 하지만 \(\pi_1(S^1, 1) = \mathbb{Z}\)이고 \(\pi_1(D^2, 1) = 0\)이라서, 그런 준동형사상은 존재하지 않는다. 그러므로 모순이고, \(f\)에 대한 가정은 틀렸다.


\(X \subseteq Y \)에 대해서, 연속함수 \(f\colon Y \to X\)가 \(x \in X\)일때 \(f(x) = x\)를 만족할때, 이런 \(f\)를 retraction이라고 한다. \( n >2\)인 경우도 \( n =2 \)인 경우의 증명과 비슷하며, \( D^n \to S^{n-1}\)인 retraction이 없다는 것을 증명하는 것이 증명의 핵심이 된다.

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리뷰, 에세이, 강의노트

  • Matoušek, Jiří, Günter M. Ziegler, and Anders Björner. “Around Brouwer’s Fixed Point Theorem (Lecture Notes).” arXiv:1409.7890 [math], September 28, 2014. http://arxiv.org/abs/1409.7890.