푸앵카레의 추측

수학노트
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개요

  • 푸앵카레의 추측
    단일연결된 컴팩트 3차원 다양체는 3차원 구와 위상적으로 같다

 

 

단일연결된 공간

  • 단일연결된 공간(simply connected space)
    • 공간에 놓인 모든 닫힌 곡선을 연속적으로 변화시켜 점으로 만들 수 있는 경우, 그 공간은 단일연결되었다고 함.
  • 2차원 구면은 단일연결되어있음.
  • 도넛은 단일연결되어있지 않음.

 

2차원 구면의 단일연결성

  • 구면에 놓인 닫힌 곡선을 연속적으로 변화시켜 점으로 만들 수 있음

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도넛의 단일연결성

  • 도넛의 경우, 닫힌 곡선을 점으로 변화시킬 수 없는 경우가 존재하므로 단일연결되어 있지 않다

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다양체(manifold)

  • 1차원 다양체 = 곡선
    • 원, 직선, ...
  • 2차원 다양체 = 곡면
    • 평면, 구면, 도넛, 
  • n-차원 다양체 : 곡선과 곡면의 n차원 일반화
    • 국소적으로 n-차원 유클리드 공간과 같은 공간을 n-차원 다양체라 한다

 

 

위상적으로 같음

  • homeomorphic, homeomorphism
  • 도넛과 커피잔의 관계처럼 연속적인 변화를 통해 두 위상적 공간을 같도록 만들 수 있다면, 위상적으로 같다고 말한다

 

 


역사

  • 수학사 연표
  • 1904 푸앵카레의 추측
  • 1982 써스톤 geometrization 추측
  • 1982 리차드 해밀턴
  • 2006 그리고리 페렐만

 

 

메모

 

 

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