각운동량의 양자 이론

==개요

==고전역학의 각운동량

고전적 의미에서 선운동량(linear momentum)이 물체가 직선운동하는데 대한 운동의 크기를 나타낸다. 이와 유사하게 각운동량(angular momentum)이란 물체가 회전운동하는데 대한 운동의 크기를 나타낸다.
회전운동의 크기는 회전반지름, 물체의 질량, 회전속도에 비례해야 할 것이다. 여기에 방향을 고려하면 각운동량 벡터는 아래와 같이 정의된다. 방향을 정의할 때는 관습에 따라 오른손 규약을 따른다.
\(\mathbf{L}=\mathbf{r}\times \mathbf{p}\)

==궤도각운동량(Orbital Angular Momentum)

위치 연산자와 운동량 연산자
\([\hat x,\hat p] = \hat x \hat p - \hat p \hat x = i \hbar\)
\(\hat p = - i \hbar {\partial \over \partial x}\)
수소원자를 이루는 전자의 각운동량은 3차원 직각좌표계를 도입할 때 \(\vec{L} = \hat{x} L_x + \hat{y} L_y + \hat{z} L_z\) 와 같이 세 개의 성분으로 표시 가능.
불확정성의 원리에 기반하여 실험적으로는 아무리 측정을 잘 해도 이 세 성분을 정확히 측정하는 것은 불가능함.
양자역학에서는 다음 정준교환자관계식(canonical commutation relation)이 성립한다. 이는 불확정성의 원리와 관계가 있다.
\([x , p_x ] = i \hbar\) , \([y , p_y ] = i \hbar\), \([z , p_z ] = i \hbar\)
이 관계식들은 각운동량의 각 성분들에 대한 아래의 교환자 관계식들과 동치이다.
\([L_x , L_y ] = i \hbar L_z\), \([L_y , L_z ] = i \hbar L_x\), \([L_z , L_x ] = i \hbar L_y\)
(\(\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}\) 관계를 이용하면 쉽게 알 수 있다)
\(x = 1, y = 2 , z = 3\) 으로 두고 \(i,j,k= 1,2,3\) 이라 하면 리대수의 구조상수에 관한 교환자관계식을 얻는다.
\([L_i , L_j ] = i \hbar \epsilon_{ijk} L_k\)