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f(v_{\sigma(1)},\cdots,v_{\sigma(k)})=\operatorname{sgn}(\sigma)f(v_1,\cdots,v_k), \qquad \forall \sigma\in S_k | f(v_{\sigma(1)},\cdots,v_{\sigma(k)})=\operatorname{sgn}(\sigma)f(v_1,\cdots,v_k), \qquad \forall \sigma\in S_k | ||
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* <math>A^k(V)</math>는 V에 정의된 교대 다중선형 k-형식의 집합 | * <math>A^k(V)</math>는 V에 정의된 교대 다중선형 k-형식의 집합 | ||
* <math>A(V) = A^0(V)\oplus A^1(V) \oplus A^2(V) \oplus \cdots \oplus A^n(V)</math> | * <math>A(V) = A^0(V)\oplus A^1(V) \oplus A^2(V) \oplus \cdots \oplus A^n(V)</math> | ||
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==antisymmetrization 연산자== | ==antisymmetrization 연산자== | ||
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| − | * 다중선형형식 | + | * 다중선형형식 <math>\omega</math>로부터 교대 다중선형형식 <math>\operatorname{Alt}(\omega)</math>을 얻는 방법 |
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\operatorname{Alt}(\omega)(x_1,\cdots,x_k):=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}\operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)},\cdots,x_{\sigma(k)}) | \operatorname{Alt}(\omega)(x_1,\cdots,x_k):=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}\operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)},\cdots,x_{\sigma(k)}) | ||
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==wedge product== | ==wedge product== | ||
| − | * | + | * <math>A(V)</math>에 정의된 결합법칙을 만족하는 곱셈 연산 |
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| − | * 두 다중선형형식 | + | * 두 다중선형형식 <math>\omega, \eta</math>에 대하여, 다중선형형식 <math>\omega\otimes\eta</math>을 다음과 같이 정의하자 |
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(\omega\otimes\eta)(x_1,\cdots,x_{k+m})=\omega(x_{1}, \cdots, x_{k}) \eta(x_{k+1}, \cdots, x_{k+m}) | (\omega\otimes\eta)(x_1,\cdots,x_{k+m})=\omega(x_{1}, \cdots, x_{k}) \eta(x_{k+1}, \cdots, x_{k+m}) | ||
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\omega\wedge\eta=\frac{(k+m)!}{k!\,m!}\operatorname{Alt}(\omega\otimes\eta) | \omega\wedge\eta=\frac{(k+m)!}{k!\,m!}\operatorname{Alt}(\omega\otimes\eta) | ||
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* 따라서 | * 따라서 | ||
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(\omega\wedge\eta)(x_1,\cdots,x_{k+m})&=\frac{1}{k!\,m!} \sum_{\sigma \in S_{k+m}} \operatorname{sgn}(\sigma) (\omega\otimes\eta)(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)})\\ | (\omega\wedge\eta)(x_1,\cdots,x_{k+m})&=\frac{1}{k!\,m!} \sum_{\sigma \in S_{k+m}} \operatorname{sgn}(\sigma) (\omega\otimes\eta)(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)})\\ | ||
&=\frac{1}{k!\,m!} \sum_{\sigma \in S_{k+m}} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)}) | &=\frac{1}{k!\,m!} \sum_{\sigma \in S_{k+m}} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)}) | ||
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* [[(p,q)-셔플(shuffle)|(p,q)-shuffle]] 을 이용한 정의 | * [[(p,q)-셔플(shuffle)|(p,q)-shuffle]] 을 이용한 정의 | ||
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(\omega \wedge \eta)(x_1,\cdots,x_{k+m}) = \sum_{\sigma \in S(k,m)} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)}) | (\omega \wedge \eta)(x_1,\cdots,x_{k+m}) = \sum_{\sigma \in S(k,m)} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)}) | ||
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| − | 여기서 | + | 여기서 <math>S(p,q)</math>는 [[(p,q)-셔플(shuffle)]] |
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==교대 다중선형형식과 외대수의 쌍대 공간== | ==교대 다중선형형식과 외대수의 쌍대 공간== | ||
| − | * | + | * <math>\Lambda^k(V)</math>의 쌍대 공간을 교대 다중선형형식을 통하여 이해할 수 있다 |
:<math>\Lambda^k(V)^{*}\simeq A^k(V)</math> | :<math>\Lambda^k(V)^{*}\simeq A^k(V)</math> | ||
2020년 11월 16일 (월) 05:18 기준 최신판
개요
- 행렬식은 교대 다중선형형식의 예이다
- \(V\) \[\mathbb F\]에서 정의된 유한 차원 벡터 공간
- 다음 조건을 만족하는 다중선형형식(multilinear form) \(f:V^k\to \mathbb F\)를 교대 다중선형 k-형식(k-alternating form)이라 부른다
\[ f(v_{\sigma(1)},\cdots,v_{\sigma(k)})=\operatorname{sgn}(\sigma)f(v_1,\cdots,v_k), \qquad \forall \sigma\in S_k \]
- \(A^k(V)\)는 V에 정의된 교대 다중선형 k-형식의 집합
- \(A(V) = A^0(V)\oplus A^1(V) \oplus A^2(V) \oplus \cdots \oplus A^n(V)\)
antisymmetrization 연산자
- \(\operatorname{Alt}\) 연산자
- 다중선형형식 \(\omega\)로부터 교대 다중선형형식 \(\operatorname{Alt}(\omega)\)을 얻는 방법
\[ \operatorname{Alt}(\omega)(x_1,\cdots,x_k):=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}\operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)},\cdots,x_{\sigma(k)}) \]
wedge product
- \(A(V)\)에 정의된 결합법칙을 만족하는 곱셈 연산
- \(A(V)\)는 대수(algebra) 구조를 갖게됨
- 두 다중선형형식 \(\omega, \eta\)에 대하여, 다중선형형식 \(\omega\otimes\eta\)을 다음과 같이 정의하자
\[ (\omega\otimes\eta)(x_1,\cdots,x_{k+m})=\omega(x_{1}, \cdots, x_{k}) \eta(x_{k+1}, \cdots, x_{k+m}) \]
- \(\omega\in A^k(V),\, \eta\in A^m(V)\)에 대하여, wedge product를 다음과 같이 정의
\[ \omega\wedge\eta=\frac{(k+m)!}{k!\,m!}\operatorname{Alt}(\omega\otimes\eta) \]
- 따라서
\[ \begin{align} (\omega\wedge\eta)(x_1,\cdots,x_{k+m})&=\frac{1}{k!\,m!} \sum_{\sigma \in S_{k+m}} \operatorname{sgn}(\sigma) (\omega\otimes\eta)(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)})\\ &=\frac{1}{k!\,m!} \sum_{\sigma \in S_{k+m}} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)}) \end{align} \]
- (p,q)-shuffle 을 이용한 정의
\[ (\omega \wedge \eta)(x_1,\cdots,x_{k+m}) = \sum_{\sigma \in S(k,m)} \operatorname{sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)}, \cdots, x_{\sigma(k)}) \eta(x_{\sigma(k+1)}, \cdots, x_{\sigma(k+m)}) \] 여기서 \(S(p,q)\)는 (p,q)-셔플(shuffle)
교대 다중선형형식과 외대수의 쌍대 공간
- \(\Lambda^k(V)\)의 쌍대 공간을 교대 다중선형형식을 통하여 이해할 수 있다
\[\Lambda^k(V)^{*}\simeq A^k(V)\]
관련된 항목들
수학용어번역
- multilinear - 대한수학회 수학용어집
- alternating - 대한수학회 수학용어집
- form - 대한수학회 수학용어집
매스매티카 파일 및 계산 리소스
관련도서
- Spivak, Michael. 1971. Calculus On Manifolds: A Modern Approach To Classical Theorems Of Advanced Calculus. Westview Press.