"구면기하학"의 두 판 사이의 차이

2013년 6월 7일 (금) 15:19 판

개요

구면(sphere) 위의 기하학
측지선은 대원으로, 평면기하학에서 직선의 역할을 함
직선과 직선 밖의 한 점이 주어져 있을 때, 한 점을 지나는 모든 직선은 주어진 직선과 만남. 즉 평행선은 존재하지 않음.
세 각이 A,B,C 로 주어진 반지름 1인 구면삼각형의 넓이는 \(A+B+C-\pi\)

구면상의 미분기하학

구면(sphere) 항목 참조

구면의 측지선

평면상의 직선이 무엇인지는 다들 잘 알고 계실 겁니다. 평면 위의 기하학이 바로 평면기하학, 유클리드 기하학인 것이죠. 그렇다면 구면상에서의 직선은 무엇인가? 구면상에서의 직선은 바로 구면상에 있는 대원들이 됩니다. 구면 위에 두 점이 있을 때, 그 두점과 구의 중심은 하나의 평면을 결정하고, 그 평면과 구면이 만나서 그리는 원을 대원이라고 하는 것이죠. 구면위의 두 점을 지나는 최단곡선은 그렇게 얻어집니다.

구면삼각형의 넓이

문제는 이제 위와 같이 생긴 삼각형 ABC의 넓이를 어떻게 구할수 있는가 하는 것입니다. 편의를 위해 앞으로 구의 반지름은 1이라고 두겠습니다.

손톱모양의 넓이

북극과 남극을 잇는 두 개의 대원이 이루는 손톱모양의 넓이는, 그 둘 사이의 각도에 의해 결정되고, 그 넓이는 다음과 같습니다.

대원둘의 각도가 \(\theta\)로 주어졌다면, 손톱모양의 넓이는 \(2\theta\)가 됩니다.
넓이가 각도에 비례한다는 사실과, 반지름이 1인 구면의 넓이는 \(4\pi\)라는 사실을 이용하면 됩니다.

구면삼각형의 넓이 공식

(정리)

세 각이 A,B,C 로 주어진 구면삼각형의 넓이는 \(A+B+C-\pi\) 이다

이를 이용하면, 이제 세 각이 A,B,C 로 주어진 구면삼각형의 넓이를 구할 수 있습니다.

(증명)

위의 그림처럼, 구면삼각형의 한 꼭지점에서 반대편 극에 마주보고 있는 점까지 대원을 잇습니다. 그러면 위에처럼 회색으로 칠한 손톱모양이 세개 얻어지는데요. 그럼 눈을 크게 뜨고 관찰을 해볼까요.

이 손톱모양 세개는 정확히 구면의 절반을 덮고 있습니다.
세개의 손톱모양 각각의 넓이는 위에서 본대로 2A,2B,2C 입니다.
따라서 2A+2B+2C - (구면삼각형 ABC의 넓이 x 2 ) = \(2\pi\) (= 구면의 절반의 넓이)

그러므로 구면삼각형 ABC의 넓이는 \(A+B+C-\pi\). ■

삼각형의 세 각의 합

한편 면적은 언제나 양수이므로, 구면삼각형의 세 각의 합은 180도보다 크다!
왜 삼각형의 세 각의 180도가 아닌 것일까? 평행선을 못 그으니까요!!!!!

테셀레이션

정다면체에 기반한 구면의 테셀레이션, 똑같이 생긴 삼각형들로 채울수 있는 경우

구면기하학
T_d	O_h	I_h
*332	*432	*532
[[]] ( 3 3 2)	[[]] (4 3 2)	[[]] (5 3 2)

이 표의 그림속에 구면 위에 그려진 삼각형들이 바로 구면삼각형들인데, 예를 들어 가운데 (4 3 2)라는 녀석은 그 삼각형의 세 각이 각각

\(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\)

라는 것을 말한다. 이 삼각형의 세각을 더해보면,

\(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{13\pi}{12}\)

가 되어 180도 보다 크다는 것을 알 수 있다. 구면기하학에서는 일반적으로 삼각형의 세 각을 더하면 180도보다 크게 된다. 이는 곡률이 양수이기 때문에 나타나는 현상이다.

역사

1603 토마스 해리엇(Thomas Harriot)이 구면삼각형의 넓이 공식을 발견
1629 Girard가 구면삼각형의 넓이 공식의 증명을 출판
http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=harriot+girard
http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=spherical+triangle
수학사 연표

매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전형태의 자료

블로그

구면삼각형의 넓이에 대한 Girard-Harriot의 정리, 피타고라스의 창

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+==구면의 측지선==
+평면상의 직선이 무엇인지는 다들 잘 알고 계실 겁니다. 평면 위의 기하학이 바로 평면기하학, 유클리드 기하학인 것이죠. 그렇다면 구면상에서의 직선은 무엇인가? 구면상에서의 직선은 바로 구면상에 있는 대원들이 됩니다. 구면 위에 두 점이 있을 때, 그 두점과 구의 중심은 하나의 평면을 결정하고, 그 평면과 구면이 만나서 그리는 원을 대원이라고 하는 것이죠. 구면위의 두 점을 지나는 최단곡선은 그렇게 얻어집니다.
+[[파일:356px-RechtwKugeldreieck.svg.png]]
 ==구면삼각형의 넓이==
+* 문제는 이제 위와 같이 생긴 삼각형 ABC의 넓이를 어떻게 구할수 있는가 하는 것입니다. 편의를 위해 앞으로 구의 반지름은 1이라고 두겠습니다.
-평면상의 직선이 무엇인지는 다들 잘 알고 계실 겁니다. 평면 위의 기하학이 바로 평면기하학, 유클리드 기하학인 것이죠. 그렇다면 구면상에서의 직선은 무엇인가? 구면상에서의 직선은 바로 구면상에 있는 대원들이 됩니다. 구면 위에 두 점이 있을 때, 그 두점과 구의 중심은 하나의 평면을 결정하고, 그 평면과 구면이 만나서 그리는 원을 대원이라고 하는 것이죠. 구면위의 두 점을 지나는 최단곡선은 그렇게 얻어집니다.
-[[파일:356px-RechtwKugeldreieck.svg.png]]
-문제는 이제 위와 같이 생긴 삼각형 ABC의 넓이를 어떻게 구할수 있는가 하는 것입니다. 편의를 위해 앞으로 구의 반지름은 1이라고 두겠습니다.
-*  손톱모양의 넓이<br> 북극과 남극을 잇는 두 개의 대원이 이루는 손톱모양의 넓이는, 그 둘 사이의 각도에 의해 결정되고, 그 넓이는 다음과 같습니다.<br><br> 대원둘의 각도가 <math>\theta</math>로 주어졌다면, 손톱모양의 넓이는 <math>2\theta</math>가 됩니다.<br> 넓이가 각도에 비례한다는 사실과, 반지름이 1인 구면의 넓이는 <math>4\pi</math>라는 사실을 이용하면 됩니다.<br>
+====손톱모양의 넓이====
+북극과 남극을 잇는 두 개의 대원이 이루는 손톱모양의 넓이는, 그 둘 사이의 각도에 의해 결정되고, 그 넓이는 다음과 같습니다.<br><br> 대원둘의 각도가 <math>\theta</math>로 주어졌다면, 손톱모양의 넓이는 <math>2\theta</math>가 됩니다.<br> 넓이가 각도에 비례한다는 사실과, 반지름이 1인 구면의 넓이는 <math>4\pi</math>라는 사실을 이용하면 됩니다.<br>
 [[파일:26lune.JPG]]
+====구면삼각형의 넓이 공식====
 (정리)
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 그러므로 구면삼각형 ABC의 넓이는 <math>A+B+C-\pi</math>. ■
+====삼각형의 세 각의 합====
 * 한편 면적은 언제나 양수이므로, '''구면삼각형의 세 각의 합은 180도보다 크다'''!
-* 왜 삼각형의 세 각의 180도가 아닌 것일까? 평행선을 못 그으니까요2012년 10월 31일 (수) 12:50 (PDT)!!!!!
+* 왜 삼각형의 세 각의 180도가 아닌 것일까? 평행선을 못 그으니까요!!!!!
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 * [[볼록다면체에 대한 데카르트 정리]]
 * [[타일링과 테셀레이션|테셀레이션]]
+==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
+* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxQnFTZHNoUmFfVkU/edit
+* http://demonstrations.wolfram.com/SphericalTriangleSolutions/
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 ==블로그==
 * [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/09/26/785 구면삼각형의 넓이에 대한 Girard-Harriot의 정리], 피타고라스의 창