낙타 17마리와 세 아들 이야기

수학노트
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개요

  • 분수와 관련된 이야기

아라비아의 한 상인이 낙타 17 마리를 유산으로 남기면서 첫째에게는 낙타의 1/2, 둘째에게는 1/3, 셋째에게는 1/9을 나눠가지도록 유언을 남겼다.

  • 17은 2,3,9로 나누어지지 않기 때문에 문제가 발생
  • 누군가가 자신이 가진 낙타 한 마리를 주어, 18마리의 낙타를 가지고 배분하는 방식으로 문제가 해결
  • 첫째는 18마리의 절반인 9마리, 둘째는 1/3인 6마리, 셋째는 1/9인 2마리를 가지게 됨
  • 이 과정에 17마리의 낙타 (9+6+2) 만이 필요하므로, 남은 한 마리를 다시 돌려준다는 이야기
  • 아들의 수와 빌려와야 하는 낙타의 수를 다르게 변형하는 일반화된 상황을 생각할 수 있다


변형1

  • 아들의 수를 \(r\)이라고 두자
  • 각 아들이 유산을 물려받는 비율을 \(1/s_i,\, i=1,\cdots, r\)로 두자. 여기서 \(s_i\)는 자연수
  • 조건
  1. 아들들이 유산을 물려받는 비율은 서로 다르게 한다
  2. 유산으로 주어진 낙타의 수 \(l\)에 1을 더하면, 이는 각각의 \(s_i\)로 모두 나누어 떨어진다
  3. 각 아들에게 주어진 전체 낙타의 수를 합하면 \(l\)이 된다
  • 이 문제는 이제 다음과 같이 쓸 수 있다
  • 다음의 조건을 만족하는 자연수 \(l, s_1, \cdots ,s_r\)을 모두 찾아라
  1. \(s_1<\cdots <s_r\)
  2. \(s_i|(l+1),\quad i=1,\cdots, r\)
  3. \(\sum_{i=1}^r \frac{1}{s_i}=1-\frac{1}{l+1}\)
  • 이러한 조건으로부터 \(l+1\)은 \(s_1,\cdots, s_r\)의 최소공배수가 되어야 함을 알 수 있다
  • 각 \(r\)에 대하여 문제의 답은 유한개 뿐이다
  • 표를 보고 이야기를 변형할 수 있다
    • 아라비아의 한 상인이 낙타 41 마리를 유산으로 남기면서 첫째에게는 낙타의 1/2, 둘째에게는 1/3, 셋째에게는 1/7을 나눠가지도록 유언을 남겼다 (아들이 셋인 경우의 1번 항목)
    • 아라비아의 한 상인이 낙타 71 마리를 유산으로 남기면서 첫째에게는 낙타의 1/2, 둘째에게는 1/4, 셋째에게는 1/8, 넷째에게는 1/9 을 나눠가지도록 유언을 남겼다 (아들이 넷인 경우의 47번 항목)

테이블

\begin{array}{c|c|c|c} & \{s_1,\cdots, s_r\} & l \\ \hline 1 & \{2\} & 1 \\ \hline 1 & \{2,3\} & 5 \\ 2 & \{2,4\} & 3 \\ \hline 1 & \{2,3,7\} & 41 \\ 2 & \{2,3,8\} & 23 \\ 3 & \{2,3,9\} & 17 \\ 4 & \{2,3,12\} & 11 \\ 5 & \{2,4,5\} & 19 \\ 6 & \{2,4,6\} & 11 \\ 7 & \{2,4,8\} & 7 \\ \hline 1 & \{2,3,7,43\} & 1805 \\ 2 & \{2,3,7,44\} & 923 \\ 3 & \{2,3,7,45\} & 629 \\ 4 & \{2,3,7,48\} & 335 \\ 5 & \{2,3,7,49\} & 293 \\ 6 & \{2,3,7,56\} & 167 \\ 7 & \{2,3,7,63\} & 125 \\ 8 & \{2,3,7,84\} & 83 \\ 9 & \{2,3,8,25\} & 599 \\ 10 & \{2,3,8,26\} & 311 \\ 11 & \{2,3,8,27\} & 215 \\ 12 & \{2,3,8,28\} & 167 \\ 13 & \{2,3,8,30\} & 119 \\ 14 & \{2,3,8,32\} & 95 \\ 15 & \{2,3,8,36\} & 71 \\ 16 & \{2,3,8,48\} & 47 \\ 17 & \{2,3,9,19\} & 341 \\ 18 & \{2,3,9,20\} & 179 \\ 19 & \{2,3,9,21\} & 125 \\ 20 & \{2,3,9,24\} & 71 \\ 21 & \{2,3,9,27\} & 53 \\ 22 & \{2,3,9,36\} & 35 \\ 23 & \{2,3,10,16\} & 239 \\ 24 & \{2,3,10,18\} & 89 \\ 25 & \{2,3,10,20\} & 59 \\ 26 & \{2,3,10,30\} & 29 \\ 27 & \{2,3,12,13\} & 155 \\ 28 & \{2,3,12,14\} & 83 \\ 29 & \{2,3,12,15\} & 59 \\ 30 & \{2,3,12,16\} & 47 \\ 31 & \{2,3,12,18\} & 35 \\ 32 & \{2,3,12,24\} & 23 \\ 33 & \{2,4,5,21\} & 419 \\ 34 & \{2,4,5,22\} & 219 \\ 35 & \{2,4,5,24\} & 119 \\ 36 & \{2,4,5,25\} & 99 \\ 37 & \{2,4,5,30\} & 59 \\ 38 & \{2,4,5,40\} & 39 \\ 39 & \{2,4,6,13\} & 155 \\ 40 & \{2,4,6,14\} & 83 \\ 41 & \{2,4,6,15\} & 59 \\ 42 & \{2,4,6,16\} & 47 \\ 43 & \{2,4,6,18\} & 35 \\ 44 & \{2,4,6,24\} & 23 \\ 45 & \{2,4,7,10\} & 139 \\ 46 & \{2,4,7,14\} & 27 \\ 47 & \{2,4,8,9\} & 71 \\ 48 & \{2,4,8,10\} & 39 \\ 49 & \{2,4,8,12\} & 23 \\ 50 & \{2,4,8,16\} & 15 \\ 51 & \{2,5,6,8\} & 119 \\ 52 & \{2,5,6,10\} & 29 \\ \end{array}

실베스터 수열

낙타 17마리와 세 아들 이야기1.gif

메모

  • The first appearance of this type of puzzle that Singmaster records is in the book Hanky Panky: A Book of Conjuring Tricks, edited by William Henry Cremer and published in London in 1872. No author is listed, but the book is often attributed to the German magician Wiljalba Frikell. Others claim it is by Henry Llewellyn Williams. The book describes “a Chinese puzzle” of dividing 17 elephants into parts 1/2, 1/3, and 1/9.
  • The puzzle appeared in several other books and magazine articles before the end of the 19th century, including those of the great American puzzle master Sam Loyd and the British puzzle king Henry Dudeney. Most writers reproduced the 1/2, 1/3, 1/9 version, with 17 animals of some sort, but a few other versions also appeared. Most include an imaginative setting in ancient Arabia or Asia.

관련된 항목들

매스매티카 파일 및 계산 리소스


리뷰, 에세이, 강의노트

  • Krishnachandran, V. N. “Mystery of the 18th Elephant Solved.” arXiv:1508.05828 [math], August 16, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.05828.
  • Stockmeyer, Paul K. “Of Camels, Inheritance, and Unit Fractions.” Math Horizons 21, no. 1 (2013): 8–11. doi:10.4169/mathhorizons.21.1.8.
  • Anne, Premchand. “Egyptian Fractions and the Inheritance Problem.” The College Mathematics Journal 29, no. 4 (September 1, 1998): 296–300. doi:10.2307/2687685.
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