다이로그 함수와 부정적분

수학노트
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개요

오일러치환

  • 유리함수 \(R(x,y)\)와 \(Q(x,y)\)에 대하여 다음과 같은 적분에 대하여 오일러 치환을 사용할 수 있다\[\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\log Q(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx\]
  • \(c>0\) 일때, \(\sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}\) 로 치환
  • 예\[I=\int \frac{1}{x\sqrt{1+x^2}}\log(x+\sqrt{1+x^2})\,dx\]
    \[\sqrt{1+x^2}=xt+1\]\[x=\frac{2t}{1-t^2}\]\[I=\int\frac{1}{t}\{\log(1+t)-\log(1-t)\}\,dt\]\[=\operatorname{Li}_{2}(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x})-\operatorname{Li}_{2}(1-\frac{\sqrt{1+x^2}}{x})\]



여러가지 부정적분

\(\alpha\neq\gamma\)인 경우

\(\int\frac{\log(\alpha+t)}{\gamma+t}\,dt=\log(\alpha-\gamma)\log(\frac{\gamma+t}{\gamma})-\operatorname{Li}_{2}(\frac{\gamma+t}{\gamma-\alpha})+C\)


\(\int\frac{\log(\gamma+t)}{\gamma+t}\,dt=\frac{1}{2}\log^2(\gamma+t)+C\)

\(\int_{0}^{x}\frac{\log x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx=\frac{1}{2}\operatorname{Li}_2((\sqrt{1+x^2}-x)^2)+\frac{1}{2}\log^2(\frac{\sqrt{1+x^2}+x}{2})\)

\(\int_{0}^{x}\frac{\log (1+x^2)}{\sqrt{1-x}}\,dx=\frac{1}{4}\operatorname{Li}_2(-x)+\frac{1}{2}\operatorname{Li}_2(\frac{2x}{1+x^2})-\operatorname{Li}_2(x)+\frac{1}{4}\log^2(1+x^2)-\log(1-x)\log(1+x^2)\)

\(\int_{0}^{x}\frac{\log x\log(x-1)}{x}\,dx=\operatorname{Li}_3(x)-\log x\operatorname{Li}_2(x)\)






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