디랙 행렬

개요

• 디랙 방정식 을 유도하는 과정에서 디랙에 의해 고안됨
• 해밀턴의 사원수(quarternions) 의 재발견
• 클리포드 대수와 스피너의 예

정의

\(\begin{array}{l} \gamma ^0=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array} \right) \\ \gamma ^1=\left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ \gamma ^2=\left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ \gamma ^3=\left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{array}\)

anticommutator 관계식

• \(\left\{\gamma^i,\gamma^j\right\}=2\eta^{i j}I_4\) 여기서\(\eta^{i j}\)는 (+ − − −).
• 이로부터 4차원 민코프스키 공간 \(E_{1,3}\)의 클리포드 대수 \(C(E_{1,3})\) 를 얻을 수 있다
• 디랙 행렬은 \(C(E_{1,3})\) 의 4차원 표현(representation) 이라 할 수 있다

디랙의 아이디어

• 클라인-고든 방정식에 등장하는 달랑베르시안 연산자 \(\partial_0^2-\partial_1^2-\partial_2^2-\partial_3^2\)의 제곱근을 찾으려는 시도
• \(D=\gamma^\mu \partial_\mu\) 형태의 미분연산자가 \(D^2=\partial_0^2-\partial_1^2-\partial_2^2-\partial_3^2\) 를 만족시키기 위해서는 \(\gamma^\mu\) 사이에 다음의 관계가 성립해야 한다
  • \(\gamma^{\mu}\gamma^{\mu}=\eta^{\mu \mu}\)
  • \(\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}+\gamma^{\nu}\gamma^{\mu}=0, (\mu\neq \nu)\)

역사

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표

메모

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

관련된 항목들

• 디랙 방정식

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxRzFBUV9yZmlURjg/edit
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• http://functions.wolfram.com/
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Numbers, constants and computation
• 매스매티카 파일 목록

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_matrices
• The Online Encyclopaedia of Mathematics
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The World of Mathematical Equations