루카스 수열

수학노트
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개요

  • \(u_{n+2}=Pu_{n+1}-Qu_{n}\, P,Q\in \mathbb{Z}\) 꼴로 정의되는 정수수열
  • 선형점화식


특수한 경우의 루카스 수열

  • $u_{n+2}=Pu_{n+1}-u_{n}$, $u_0=0,u_1=1$
  • $a+b =P, ab=1$로 두면, 해는 다음과 같이 주어진다

\[u(n)=\frac{a^{n}-b^{n}}{a-b}\]

  • 적당한 \(\theta\)에 대하여, \(u(n)=\frac{\sin (n \theta)}{\sin \theta}\) 의 형태로 쓸 수 있다
  • \(u_n^2-u_{n-1}u_{n+1}=1\)



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