상수계수 선형점화식

수학노트
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개요


기본 정리

정리

복소수열 $\{a_n\}_{n=0}^\infty$과 생성함수 $A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$에 대하여 다음은 동치이다

(1) 충분히 큰 $n$에 대하여 다음 형태의 점화식이 성립한다 $$ a_n+q_1a_{n-1}+q_2a_{n-2}+\cdots+q_ka_{n-k}=0 \tag{1} $$ (2) 생성함수 $A(x)$는 유리함수이다. 즉, 서로 소인 다항식 $P(x),Q(x)$가 존재하여, $A(x)=P(x)/Q(x)$이 성립한다.

(3) 복소수 $\alpha_1,\cdots, \alpha_r$과 다항식 $f_1(n),\cdots, f_r(n)$이 존재하여, 충분히 큰 $n$에 대하여 다음이 성립한다 $$ a_n=\sum_{i=1}^{r}f_i(n)\alpha_i^n \tag{2} $$

관계

  • 생성함수가 $A(x)=P(x)/Q(x)$, $Q(x)=1+q_1x+\cdots+q_k x^k$인 경우, 선형점화식 (1)을 얻는다
  • 다항식 $Q(x)=\prod_{i=1}^{r}(x-\alpha_i^{-1})^{d_i}$일 때, (2)에서 $\deg f_i=d_i-1$.


선형점화식의 예

등비수열

  • 점화식 $a_n=r a_{n-1}, a_0=1$
  • 일반항은 $a_n=r^n$
  • 생성함수는 다음과 같다

$$ A(x)=\sum _{n=0}^{\infty } a_n x^n=\sum _{n=0}^{\infty } r^n x^n=\frac{1}{1-r x} $$


피보나치 수열

  • 점화식 \(a_{n+2} = a_{n+1} + a_n\), \(a_0 = a_ 1 = 1\)
  • 생성함수는 다음과 같이 주어진다

$$ A(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=\frac{1}{1-x-x^2} $$

  • 분모 $Q(x)=1-x-x^2$의 해는 $\alpha_1^{-1}=\frac{1}{2} \left(-1-\sqrt{5}\right),\alpha_3^{-1}=\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}-1\right)$이다
  • 피보나치 수열의 일반항은 다음과 같이 주어진다

$$ a_n=A\alpha_1^n+B\alpha_2^n=A \left(\frac{1}{2} \left(1-\sqrt{5}\right)\right)^n+B \left(\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{5}\right)\right)^n $$ 여기서 $$ A= \frac{1}{10} \left(5-\sqrt{5}\right),B= \frac{1}{10} \left(5+\sqrt{5}\right) $$

다항식으로 주어진 수열

  • 일반항이 $a_n=\frac{1}{6} (n+1) (n+2) (n+3)$으로 주어진 수열
  • $1,4,10,20,35,56,84,120,\cdots$
  • 다음의 선형점화식을 만족시킨다

$$ a_n-4 a_{n-1}+6 a_{n-2}-4 a_{n-3}+a_{n-4}=0 $$

  • 생성함수는 다음과 같다

$$ A(x)=\sum _{n=0}^{\infty } a_n x^n=\sum _{n=0}^{\infty } \left(\frac{1}{6} (n+1) (n+2) (n+3)\right) x^n=\frac{1}{(1-x)^4}=\frac{1}{x^4-4 x^3+6 x^2-4 x+1} $$

이계 상수계수 선형점화식

동차인 경우

  • \(pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = 0\) 꼴의 점화식

\(p+q+r =0\) 일 때

  • 잘 정리하면 \(a_{n+2} - a_{n+1} = r(a_{n+1} - a_n)\) 의 형태로 만들 수 있다. 그러면 계차수열 \(b_n = a_{n+1} - a_{n}\) 에 대한 등차수열이라고 생각하고, \(b_n\) 을 구한다.

\(p+q+r \ne 0 \) 일 때

  • 다항식 \(px^2 + qx + r = 0 \) 의 두 근을 \(\alpha, \beta\) 라 하면, \(a_n = A\alpha^{n-1} + B\beta^{n-1}\) 꼴이며, 초기항 두 개를 아는 경우 상수를 찾을 수 있다.
    • 중근 \(\alpha\) 를 가지는 경우에는 \(a_n = A\alpha^{n-1} + Bn\alpha^{n-1}\) 꼴이 된다.
  • \(px^2 + qx + r = 0 \) 의 두 근 \(\alpha, \beta\) 에 대하여, \(p(\alpha+ \beta) = -q,\quad p(\alpha \beta) = r\) 이다. (근과 계수와의 관계) 그러므로\[a_{n+2} - (\alpha + \beta)a_{n+1} + \alpha \beta a_n = 0\] 라고 쓸 수 있다. 이제 \(a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \beta(a_{n+1} -\alpha a_n)\) 으로 쓸 수 있다. \((a_{n+1} -\beta a_n)\) 에 대한 등비수열을 풀기.\[a_{n+2} - \beta a_{n+1} = \alpha (a_{n+1} -\beta a_n)\] 로도 쓸 수 있다. \((a_{n+1} -\alpha a_n)\) 에 대한 등비수열을 풀기. 연립해서 \(a_{n+1}\) 을 소거하면 끝! 중근을 가지는 경우에 대한 유도는 독자에게 맡긴다. 이 점화식을 \(p+q+r=0\) 인 점화식에 적용해서 풀지 말라는 법도 없다. 한 근이 무조건 1 이 나와서, (등비수열) + (상수) 꼴의 일반항이 나온다.


동차가 아닌 경우

  • \(pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = b_n\) 꼴의 점화식
  • 양변에 적당히 \(n\) 에 대한 식을 더해서 공비 \(r\) 에 대한 등비수열 꼴로 만들 수 있는 경우가 많다.


관련된 항목들

매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전 형태의 자료


리뷰논문, 에세이, 강의노트