"리대수 sl(2,C)의 유한차원 표현론"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
(피타고라스님이 이 페이지의 위치를 <a href="/pages/12458428">리군과 리대수</a>페이지로 이동하였습니다.)
(차이 없음)

2012년 7월 19일 (목) 09:27 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요
  • 리대수 \(\mathfrak{sl}(2)\)

 

 

리대수 \(\mathfrak{sl}(2)\)
  • \(L=\langle E,F,H \rangle\)
  • commutator
    \([E,F]=H\)
    \([H,E]=2E\)
    \([H,F]=-2F\)
  • universal enveloping algebra의 PBW 기저 \(\{F^kH^lE^m|k,l,m\geq 0\}\)

 

 

highest weight representation
  • \(\mathbb{F}\) : algebraically closed field with characteristic 0
  • \(V\) :유한차원인 기약표현
  • \(V=\oplus_{\lambda\in\mathbb{F}}V_{\lambda}\), \(V_{\lambda}=\{v\in V|Hv=\lambda v\}\)
  • \(\lambda\in \mathbb{F}\) 에 대하여, highest weight vector \(v_0\) 를 정의
    \(Ev_0=0\)
    \(Hv_0=\lambda v_0\)
  • \(v_j:=\frac{F^j}{j!}v_0\) 로 정의하면, 다음 관계가 만족된다
    \(H v_j=(\lambda -2j)v_j\)
    \(F v_j=(j+1)v_{j+1}\)
    \(E v_j=(\lambda -j+1)v_{j-1}\)
  • \(\{v^j|j\geq 0\}\) 가 생성하는 벡터공간이 유한차원인 L-모듈이 되려면, \(\lambda\in\mathbb{Z}, \lambda\geq 0\) 이 만족되어야 한다

 

 

유한차원 기약표현의 분류
  • 각 \(m\geq 0\) 에 대하여, m+1 차원 기약표현 \(V(m)\)가 존재한다
  • 모든 유하차원 기약표현 \(V\)에 대하여 적당한 \(m\geq 0\)에 대하여 \(V\simeq V(m)\)

 

 

파울리 행렬
  • 파울리 행렬
  • raising and lowering 연산자
    \(\sigma_{\pm}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}\pm i\sigma_{y})\)
    \(\sigma_{+}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}+ i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}\)
    \(\sigma_{-}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}- i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}\)
    \([\sigma_{z},\sigma_{\pm}]=\pm 2\sigma_{\pm}\)

 

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

 

사전 형태의 자료

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

 

관련논문

 

 

관련도서
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=리대수_sl(2,C)의_유한차원_표현론&oldid=3009"