"리대수 sl(2,C)의 유한차원 표현론"의 두 판 사이의 차이

2012년 11월 17일 (토) 06:47 판

\(\mathbb{F}\) : algebraically closed field with characteristic 0
\(V\) :유한차원인 기약표현
\(V=\oplus_{\lambda\in\mathbb{F}}V_{\lambda}\), \(V_{\lambda}=\{v\in V|Hv=\lambda v\}\)
\(\lambda\in \mathbb{F}\) 에 대하여, highest weight vector \(v_0\) 를 정의
\(Ev_0=0\)
\(Hv_0=\lambda v_0\)
\(v_j:=\frac{F^j}{j!}v_0\) 로 정의하면, 다음 관계가 만족된다
\(H v_j=(\lambda -2j)v_j\)
\(F v_j=(j+1)v_{j+1}\)
\(E v_j=(\lambda -j+1)v_{j-1}\)
\(\{v^j|j\geq 0\}\) 가 생성하는 벡터공간이 유한차원인 L-모듈이 되려면, \(\lambda\in\mathbb{Z}, \lambda\geq 0\) 이 만족되어야 한다

파울리 행렬
raising and lowering 연산자
\(\sigma_{\pm}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}\pm i\sigma_{y})\)
\(\sigma_{+}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}+ i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}\)
\(\sigma_{-}=\frac{1}{2}(\sigma_{x}- i\sigma_{y})=\begin{pmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}\)
\([\sigma_{z},\sigma_{\pm}]=\pm 2\sigma_{\pm}\)

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	* 각 <math>m\geq 0</math> 에 대하여, m+1 차원 기약표현 <math>V(m)</math>가 존재한다		* 각 <math>m\geq 0</math> 에 대하여, m+1 차원 기약표현 <math>V(m)</math>가 존재한다
−	* 모든 ~~유하차원~~ 기약표현 <math>V</math>에 대하여 적당한 <math>m\geq 0</math>에 대하여 <math>V\simeq V(m)</math>	+	* 모든 유한차원 기약표현 <math>V</math>에 대하여 적당한 <math>m\geq 0</math>에 대하여 <math>V\simeq V(m)</math>