"마친(Machin)의 공식"의 두 판 사이의 차이
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이를 통해, <math>4\alpha</math>의 값이 <math>\frac{\pi}{4}</math>에 가까울 것임을 생각할 수 있다. | 이를 통해, <math>4\alpha</math>의 값이 <math>\frac{\pi}{4}</math>에 가까울 것임을 생각할 수 있다. | ||
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이제 그 오차를 계산하기 위해, <math>\beta=4\alpha-\frac{\pi}{4}</math>로 두자. | 이제 그 오차를 계산하기 위해, <math>\beta=4\alpha-\frac{\pi}{4}</math>로 두자. | ||
탄젠트에 대한 덧셈공식을 사용하면, 다음의 결과를 얻을 수 있다. | 탄젠트에 대한 덧셈공식을 사용하면, 다음의 결과를 얻을 수 있다. | ||
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| − | <math>\tan\beta=\tan(4\alpha-\frac{\pi}{4})=\frac{\tan 4\alpha+\tan(-\frac{\pi}{4})}{1-\tan 4\alpha \tan(-\frac{\pi}{4})}=\frac{1}{239}</math> | ||
이제 아크탄젠트함수를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다. | 이제 아크탄젠트함수를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다. | ||
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| + | 복소수의 곱셈 <math>(5+i)^4(-239+i)=-114244-114244 i</math>을 확인하자. | ||
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* 증명의 아이디어처럼, 배각공식을 활용하여 1에 가깝게 되는 각도를 찾아낼 수 있으면, 유사한 형태의 공식을 얻을 수 있음. | * 증명의 아이디어처럼, 배각공식을 활용하여 1에 가깝게 되는 각도를 찾아낼 수 있으면, 유사한 형태의 공식을 얻을 수 있음. | ||
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| − | * | + | * 1671년 [[그레고리-라이프니츠 급수]] |
| − | * | + | * 1706년 마친, [[#|마친(Machin)의 공식]]을 활용하여 파이값 100자리까지 계산 |
* http://books.google.com/books?id=RasOAAAAYAAJ&pg=PA242&sig=HdJs9ZCM_BmIh_PA6cgIpXStTFw&hl=en#v=onepage&q&f=false | * http://books.google.com/books?id=RasOAAAAYAAJ&pg=PA242&sig=HdJs9ZCM_BmIh_PA6cgIpXStTFw&hl=en#v=onepage&q&f=false | ||
* [[수학사 연표]] | * [[수학사 연표]] | ||
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==관련논문== | ==관련논문== | ||
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* Jack S. Calcut, Gaussian Integers and Arctangent Identities for π http://www.oberlin.edu/faculty/jcalcut/gausspi.pdf | * Jack S. Calcut, Gaussian Integers and Arctangent Identities for π http://www.oberlin.edu/faculty/jcalcut/gausspi.pdf | ||
* [http://www.jstor.org/stable/2690908 A Geometric Proof of Machin's Formula] | * [http://www.jstor.org/stable/2690908 A Geometric Proof of Machin's Formula] | ||
2013년 12월 2일 (월) 15:09 판
개요
- 아크탄젠트 함수를 통한 원주율(파이,π) 표현\[4\arctan\frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{239}=\frac{\pi}{4}\]
- 아크탄젠트 함수의 급수표현을 이용하면 파이로 빠르게 수렴하는 간단한 급수를 얻게 됨
- 존 마친(John Machin)에 의해 1706년 발견됨
증명
배각공식을 통한 증명
\(\tan \alpha = \frac{1}{5}\) 를 만족시키는 각도\(\alpha\)를 생각하자.
탄젠트에 대한 배각공식을 반복적용하여, 다음을 얻는다 \[\tan 2\alpha =\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{5}{12}\] \[\tan 4\alpha =\frac{2\tan 2\alpha}{1-\tan^22\alpha}=\frac{120}{119}\]
이를 통해, \(4\alpha\)의 값이 \(\frac{\pi}{4}\)에 가까울 것임을 생각할 수 있다.
이제 그 오차를 계산하기 위해, \(\beta=4\alpha-\frac{\pi}{4}\)로 두자.
탄젠트에 대한 덧셈공식을 사용하면, 다음의 결과를 얻을 수 있다. \[\tan\beta=\tan(4\alpha-\frac{\pi}{4})=\frac{\tan 4\alpha+\tan(-\frac{\pi}{4})}{1-\tan 4\alpha \tan(-\frac{\pi}{4})}=\frac{1}{239}\]
이제 아크탄젠트함수를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다. \[\frac{\pi}{4}=4\alpha-\beta=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}\]■
복소수의 곱셈을 통한 증명
복소수의 곱셈 \((5+i)^4(-239+i)=-114244-114244 i\)을 확인하자.
이로부터, 다음을 얻는다. \[4\arctan(\frac{1}{5})+\pi-\arctan(\frac{1}{239})=\frac{5}{4}\pi\]
따라서
\[4\arctan(\frac{1}{5})-\arctan(\frac{1}{239})=\frac{1}{4}\pi\] ■
일반화
- 증명의 아이디어처럼, 배각공식을 활용하여 1에 가깝게 되는 각도를 찾아낼 수 있으면, 유사한 형태의 공식을 얻을 수 있음.
역사
- 1671년 그레고리-라이프니츠 급수
- 1706년 마친, 마친(Machin)의 공식을 활용하여 파이값 100자리까지 계산
- http://books.google.com/books?id=RasOAAAAYAAJ&pg=PA242&sig=HdJs9ZCM_BmIh_PA6cgIpXStTFw&hl=en#v=onepage&q&f=false
- 수학사 연표
관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전형태의 참고자료
- http://en.wikipedia.org/wiki/John_Machin
- http://en.wikipedia.org/wiki/Machin-like_formula
- http://mathworld.wolfram.com/MachinsFormula.html
관련논문
- Jack S. Calcut, Gaussian Integers and Arctangent Identities for π http://www.oberlin.edu/faculty/jcalcut/gausspi.pdf
- A Geometric Proof of Machin's Formula
- Roger B. Nelsen, Mathematics Magazine, Vol. 63, No. 5 (Dec., 1990), pp. 336-337
- Complex Numbers and Machin-Type Formulae for π
- [1]Nick LordThe Mathematical Gazette, Vol. 73, No. 463 (Mar., 1989), pp. 47-49