매개화된 곡면

수학노트
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개요

  • 곡면의 매개화\[\mathbf{r}(u,v)=\left(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\right)\], \((u,v)\in D\)
  • 단위법선벡터(unit normal vector) - 곡면의 향을 결정\[\mathbf{n}=\frac{\mathbf{r}_ {v}\times \mathbf{r}_{v}}{|\mathbf{r}_ {v}\times \mathbf{r}_{v}|}\] 또는 \(\mathbf{n}=-\frac{\mathbf{r}_ {v}\times \mathbf{r}_{v}}{|\mathbf{r}_ {v}\times \mathbf{r}_{v}|}\)
    이 때, \(\mathbf{r}_{u}(u,v)=\left(x_u,y_u,z_u \right)\), \(\mathbf{r}_{v}(u,v)=\left(x_v,y_v,z_v \right)\)


매개화된 곡면의 예

  • 2변수 함수의 그래프로 주어지는 곡면 \[\mathbf{r}(x,y)=\left(x,y,f(x,y)\right), (x,y)\in D\]
  • 구면(sphere) \[X(u,v)=R(\cos u \sin v, \sin u \sin v, \cos v), 0<u<2\pi, 0<v<\pi\]
  • 원통(cylinder) \[\mathbf{r}(\theta,z)=\left(r\cos \theta,r\sin \theta,z\right), 0\le \theta \le 2\pi, -\infty\le z \le \infty \]
  • 회전으로 얻어지는 곡면
    • 평면 상에서 \((f(v), g(v))\)로 매개화된 곡선을 y축을 중심으로 회전하여 얻어지는 곡면 \[\mathbf{r}(u,v)=(f(v) \cos (u),f(v) \sin (u),g(v))\]



법선벡터의 예

  • 평면 \(ax+by+cz=d\)의 경우, 법벡터는 \(\mathbf{n}=(a,b,c)\)
  • \(z=f(x,y)\)의 그래프로 주어지는 곡면의 경우, \(\mathbf{n}=(f_x,f_y,-1)\)
  • 구면 \(x^2+y^2+z^2=r^2\)의 경우, \(\mathbf{n}=\frac{(x,y,z)}{r}\)


역사



메모

  • Greco, Gabriele H., Sonia Mazzucchi, and Enrico M. Pagani. “Peano on Definition of Surface Area.” arXiv:1412.2691 [math], December 8, 2014. http://arxiv.org/abs/1412.2691.

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