맥스웰 방정식의 게이지 불변성

수학노트
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개요

  • 임의의 스칼라장 \(\Lambda(x,y,z,t)\)에 대하여 다음과 같은 변환을 정의할 수 있다

\[\mathbf{A} \to \mathbf{A} +\nabla \Lambda\]\[\phi\to \phi-\frac{\partial\Lambda}{\partial t}\]

  • 전기장과 자기장은 이 변환에 대하여 불변이다\[\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}\]\[\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t} - \nabla \phi \]
  • 맥스웰 방정식은 게이지 불변성을 가진다


라그랑지안과 게이지 불변성

  • 상호작용이 없는 전자기장의 라그랑지안은 다음과 같다

$$\mathcal{L}_{\text{EM}}= - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$ 이 때 \(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!\)는 전자기텐서, $A=(A_{\mu})$는 전자기 포텐셜

  • 라그랑지안은 전자기 포텐셜의 다음과 같은 변환에 대하여 불변이다

\[A_{\mu}(x) \to A_{\mu}(x)-\partial_{\mu}\Lambda(x)\] 여기서 $\Lambda(x)$는 임의의 스칼라장  

 

역사


 

메모


관련된 항목들


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