게이지 이론

수학노트
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개요

  • 입자물리의 언어
  • 국소적인(local) 게이지 불변성으로부터 게이지 보존(힘을 매개하는 입자)의 등장과 입자 사이의 상호작용을 설명
  • 미분기하의 principal bundle과 접속(connection)의 언어를 사용하여 기술할 수 있음

 

 

국소 게이지 불변성과 양자전기역학

맥스웰 방정식의 게이지 불변성

  • 상호작용이 없는 전자기장의 라그랑지안은 다음과 같다

$$\mathcal{L}_{\text{EM}}= - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$ 이 때 \(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu \,\!\)는 전자기텐서, $A=(A_{\mu})$는 전자기 포텐셜

  • 라그랑지안은 전자기 포텐셜의 다음과 같은 변환에 대하여 불변이다

\[A_{\mu}(x) \to A_{\mu}(x)-\partial_{\mu}\alpha(x)\] 여기서 $\alpha(x)$는 임의의 스칼라장


QED 라그랑지안과 국소 게이지 불변성

  • \(\psi\) 는 디랙 field (전자를 나타내는 장)
  • 디랙 방정식\((-i\gamma^\mu\partial_\mu + m) \psi = 0\)
  • 상호작용이 없는 라그랑지안

\[\mathcal{L}_{\text{free}} = i \bar{\psi} \gamma^\mu \partial_\mu \psi -m \bar{\psi} \psi+\mathcal{L}_{\text{EM}}\] 로 시작하자. 여기서 \(\bar{\psi}= \psi^{\dagger} \gamma^0 \) Dirac adjoint, \(\gamma^{\mu}\)는 디랙 행렬

  • 라그랑지안이 \(U(1)\) - 국소 게이지 불변, 즉 

\[\psi(x) \to e^{i\alpha(x)}\psi(x)\] 에 의해 불변이 되도록 하려한다

  • 라그랑지안에 적당한 항을 더하면, 게이지 불변성을 얻게 된다

\[\mathcal{L}_{\text{int}}=\mathcal{L}_{\text{free}}+q \bar{\psi}\gamma^{\mu} A_{\mu} \psi =i \bar{\psi} \gamma^\mu \partial_\mu \psi - q \bar{\psi}\gamma^{\mu} A_{\mu} \psi -m \bar{\psi} \psi+\mathcal{L}_{\text{EM}}\]

  • 이를 다음과 같이 쓰기도 한다

\[\mathcal{L}_{\text{int}}=i \bar{\psi} \gamma^\mu D_\mu \psi -m \bar{\psi} \psi+\mathcal{L}_{\text{EM}}\] 여기서 $D_\mu=\partial_\mu + i q A_{\mu}$. 이는 공변미분(covariant derivative)에 해당하며, 게이지장이 접속 (connection) 형식에 해당함을 보여준다

  • 이 때 게이지장(전자기장)의 게이지 변환은 다음과 같이 주어진다

\[A_{\mu}(x) \to A_{\mu}(x)-\frac{1}{q}\partial_{\mu}\alpha(x)\]

 

양-밀스 이론

  • 리대수 $\mathfrak{g}$의 생성원과 구조상수

$$ \ [T_a,T_b]=f_{ab}^{c}T_c $$

  • 게이지 포텐셜 $\mathfrak{g}$-valued 1-form

$$ A=A_{\mu}^{a}dx^{\mu}T_{a} $$

  • field strength 텐서 $\mathfrak{g}$-valued 2-form

$$ F=\frac{1}{2}F^{a}_{\mu \nu}dx^{\mu}\wedge dx^{\nu} T_a $$ $$ F_{\mu \nu}^a = \partial_\mu A_\nu^a-\partial_\nu A_\mu^a-i g f_{bc}^{a}A_\mu^bA_\nu^c $$


 

역사

 

 

메모

"…That non-Abelian gauge fields are conceptually identical to ideas in the beautiful theory of fiber bundles, developed by the mathematicians without reference to the physical world, was a great marvel to me. In 1975 I discussed my feelings with Chern, and said, this is both thrilling and puzzling, since you mathematicians dreamed up these concepts out of nowhere." He immediately protested: "No, no. These concepts were not dreamed up. They were natural and real."

C. N. Yang; "magnetic monopoles, fiber bundles, and gauge fields’ Selected Papers C.N. Yang.

 

관련된 항목들

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스


수학용어번역

  • gauge - 대한수학회 수학용어집


 

사전 형태의 자료


 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

  • Hamilton, M. J. D. “The Higgs Boson for Mathematicians. Lecture Notes on Gauge Theory and Symmetry Breaking.” arXiv:1512.02632 [hep-Th], December 8, 2015. http://arxiv.org/abs/1512.02632.
  • Weatherall, James Owen. ‘Understanding Gauge’. arXiv:1505.02229 [physics], 9 May 2015. http://arxiv.org/abs/1505.02229.
  • Jordan, François, Lazzarini Serge, and Masson Thierry. 2014. “Gauge Field Theories: Various Mathematical Approaches.” arXiv:1404.4604 [hep-Th, Physics:math-Ph], April. http://arxiv.org/abs/1404.4604.
  • Samuel Marateck, The Differential Geometry and Physical Basis for the Applications of Feynman Diagrams http://arxiv.org/abs/physics/0603016