맥스웰 방정식

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• 맥스웰방정식

 

 

개요

• 전기장에 대한 가우스의 법칙
  \(\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}\)
  
• 자기장에 대한 가우스의 법칙
  \(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\)
  
• 패러데이의 법칙

\(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\)

• 앙페르-패러데이 법칙

\(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ \)

 

 

 

파동방정식의 유도

• 미분연산자 사이에는 다음과 같은 항등식이 성립 (다변수미적분학 항목 참조)
  \(\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=\nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E}\)
  \( \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla (\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})\)
  
• 전기장에 대한 가우스의 법칙과 패러데이의 법칙으로부터 다음을 얻는다
  \(\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}\), \(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}\)
  \( \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \nabla \times \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}=\nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \frac{\partial (\nabla \times \mathbf{B})} {\partial t}\)
  
• 앙페르-패러데이 법칙으로부터 다음을 얻는다

\(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ \)

\( \nabla^2 \mathbf{E}= \nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \frac{\partial (\mu_0\mathbf{J} +\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}\ )} {\partial t}=\nabla \frac {\rho} {\varepsilon_0} + \mu_0\frac{\partial \mathbf{J} }{\partial t} +\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}\)

• \(\rho=0, \mathbf{J}=0 \)인 곳에서 전기장은 파동방정식을 만족시키게 된다
  \( \nabla^2 \mathbf{E}= \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}} {\partial t^2}\)
  

 

 

 

 

 

 

역사

• 수학사연표

 

 

관련된 항목들

• 다변수미적분학
• 미분형식 (differential forms)과 multilinear algebra
• 편미분방정식
• 파동방정식

 

 

수학용어번역

• http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/맥스웰_방정식
• http://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell's_equations
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions