모든 자연수의 곱과 리만제타함수

개요

• 모든 자연수의 곱은 물론 발산
• 리만제타함수의 0에서의 미분값을 묻는 문제로 이해할 수 있음
• \(\zeta'(0)=-\log{\sqrt{2\pi}}\) (아래에서 증명함)
• \(\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}\) , \(\zeta'(s)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log n}{n^s}\)
• 여기서 (형식적으로)\[\zeta'(0)=-\sum_{n=1}^{\infty}\log n\]\[\prod_{1}^{\infty} n =\sqrt{2\pi}\]
• 즉 모든 자연수의 곱은 \(\sqrt{2\pi}\) (!?)

증명에 앞서 알아야 할 사실들

• 감마함수
• 리만제타함수의 함수방정식

\[\zeta(s)=\frac{\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}\]

증명

함수 \(f(s):=s\zeta(1-s)\)를 정의하자. 이제 \[\zeta(s)=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma(\frac{1-s}{2})f(s)}{2\Gamma(\frac{s}{2}+1)}\] 의 \(s=0\) 에서의 로그미분값을 계산하면, 다음을 얻는다 \[ \frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}=\log\pi-\frac{1}{2}\frac{\Gamma'(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2})}+\frac{f'(0)}{f(0)}-\frac{1}{2}\frac{\Gamma'(1)}{\Gamma(1)}=\log\pi-\frac{1}{2}\left(\psi(1)+\psi(\frac{1}{2})\right)+ \frac{f'(0)}{f(0)} \label{sum} \] 여기서 \(\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\)는 다이감마 함수(digamma function).

함수 $\psi$에 대하여 다음이 성립한다 : \[\psi(1) = -\gamma,\, \psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma\]

한편, \(\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O(s-1)\) 를 이용하면, \(s=0\) 주변에서 \(f(s)=-1+\gamma s+O(s^2)\)임을 안다. 따라서 \[\frac{f'(0)}{f(0)}=-\gamma.\]

얻어진 결과들을 \ref{sum}에 적용하여 다음을 얻는다. \[\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}=\log\pi-\frac{1}{2}(-\gamma-2\ln2-\gamma)-\gamma=\log 2\pi\] 이제 \(\zeta(0)=-1/2\)로부터 \(\zeta'(0)=-\log \sqrt{2\pi}\)를 얻는다.

역사

• 수학사 연표

관련된 항목들

• 리만제타함수
• 스펙트럼 제타 함수
• 파이가 아니라 2파이다?
• L-함수의 미분

관련논문

• García, E. Muñoz, and R. Pérez Marco. “The Product Over All Primes Is 4π2.” Communications in Mathematical Physics 277, no. 1 (January 1, 2008): 69–81. doi:10.1007/s00220-007-0350-z.