"미분형식 (differential forms)과 다변수 미적분학"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 05:44 기준 최신판

개요

미분형식을 통하여 다변수미적분학의 내용을 새롭게 쓸 수 있다
3차원 공간에 정의된 스칼라함수와 벡터장을 3차원 공간에 정의된 미분형식으로 이해
미분연산자는 미분형식 사이에 정의되는 사상으로 이해할 수 있다

미분연산자

미분연산자

grad

스칼라 함수 \(f\)에 대하여, \(\operatorname{grad}(f) = \nabla f\)는 다음과 같이 정의되는 벡터장이다

\[ \nabla f=( f_x, f_y,f_z) \]

벡터장 \(\nabla f=( f_x, f_y,f_z)\) 를 1-형식 \(f_x\, {d}x + f_y\, {d}y+f_z\,dz\)로 생각하자
\(\operatorname{grad}(f) = \nabla f\) 는 스칼라 함수를 1-형식으로 보내는 다음과 같은 사상으로 이해할 수 있다

\[d_0=\nabla : f\mapsto f_x\, {d}x + f_y\, {d}y+f_z\,dz\]

curl

벡터장 \(\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)\)에 대하여, \(\operatorname{curl}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F}\) 는 다음과 같이 정의되는 벡터장이다

\[\nabla\times \mathbf{F}=\left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) \mathbf{k}\]

\(\mathbf{F}\)를 1-형식 \(F_1dx+F_2dy+F_3dz\), \(\operatorname{curl}(\mathbf{F})=\nabla \times \mathbf{F}\)를 다음과 같은 2-형식으로 생각하자

\[\left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right) dy\wedge dz + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right) dz\wedge dx + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) dx\wedge dy\]

이로부터 curl, \(\nabla\times\) 는 1-형식을 2-형식으로 보내는 다음과 같은 사상으로 이해할 수 있다

\[d_1:F_1dx+F_2dy+F_3dz\mapsto \left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right) dy\wedge dz + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right) dz\wedge dx + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) dx\wedge dy\]

div

벡터장 \(\mathbf{F}=(F_1, F_2,F_3)\)에 대하여, \(\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F}\)는 다음과 같이 정의된 스칼라 함수이다

\[ \nabla \cdot \mathbf{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z} \]

벡터장 \(\mathbf{F}=(F_1, F_2,F_3)\)를 2-형식 \(F_1 dy \wedge dz +F_2 dz \wedge dx +F_3 dx \wedge dy\)로, 스칼라 함수 \(\nabla \cdot \mathbf{F}\)를 다음과 같은 3-형식으로 생각하자

\[ \left(\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}\right)dx\wedge dy\wedge dz \]

미분연산자 div는 2-형식을 -3형식으로 보내는 다음과 같은 사상으로 이해할 수 있다

\[ d_2 : F_1 dy \wedge dz +F_2 dz \wedge dx +F_3 dx \wedge dy \mapsto \left(\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}\right)dx\wedge dy\wedge dz \]

성질

임의의 스칼라 함수 \(f\)와 벡터장 \(\mathbf{F}\)에 대하여, 다음이 성립한다

\[ \nabla \times (\nabla f)=0\\ \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F})=0 \]

미분연산자를 미분형식에 정의되는 사상으로 이해하면, 이를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다

\[ d_1\circ d_0=d_2\circ d_1=0 \]

1-형식의 적분

곡선 \(C\)의 매개화가 \(\mathbf{r}(t)=( x(t), y(t), z(t)), \quad a\leq t \leq b\)로 주어지는 경우
1-form \(\omega=P\, {d}x + Q\, {d}y+R\,dz\)
곡선 C 위에서 1-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다

\[\int_{C}\omega=\int_{a}^{b} \left(P(\mathbf{r}(t))\frac{dx}{dt}+Q(\mathbf{r}(t))\frac{dy}{dt}+R(\mathbf{r}(t))\frac{dz}{dt}\right) \,dt\]

곡선 C 위에서 1-형식\(\omega=P\, {d}x + Q\, {d}y+R\,dz\)의 적분은 벡터장\(\mathbf{F}=(P,Q,R)\)의 선적분과 같다

\[\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{C}\omega\]

증명

\[\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) \, dt=\int_{a}^{b}\left(P(\mathbf{r}(t))\frac{dx}{dt}+Q(\mathbf{r}(t))\frac{dy}{dt}+R(\mathbf{r}(t))\frac{dz}{dt}\right) \,dt=\int_{C}\omega\] ■

2-형식의 적분

3차원의 매개곡면 \(S\), \(\mathbf{r} (u,v)=( x(u,v), y(u,v), z(u,v)),\quad (u,v)\in D\)
2-form \(\omega= F_1\, dy \wedge dz + F_2\, dz \wedge dx+F_3\, dx \wedge dy\)
S 위에서 2-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다\[\iint_{S}\omega=\iint_D \left[ F_{1} ( \mathbf{r} (u,v))\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)} + F_{2} ( \mathbf{r} (u,v))\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}F_{3} ( \mathbf{r} (u,v)) \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right]\, du\, dv\]
곡면 S위에서 2-형식 \(\omega= F_1\, dy \wedge dz + F_2\, dz \wedge dx+F_3\, dx \wedge dy\)의 적분은 벡터장\(\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)\)의 적분과 같다\[\iint_S\ \mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{S}=\iint_{S}\omega\]

증명

다음을 관찰하자 \[{\partial \mathbf{r} \over \partial u}\times {\partial \mathbf{r} \over \partial v}=\left(\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}, \frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}, \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v))}\right)\] 다음을 얻는다 \[\iint_S\ \mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{S}=\iint_D (F_1,F_2,F_3)\cdot ({\partial \mathbf{x} \over \partial u}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial v})\, du\, dv=\iint_{S}\omega\]. ■

응용1. 스토크스 정리

스토크스 정리

\[\int_S d\omega = \int_{\partial S} \omega\]

수학용어번역

gradient - 대한수학회 수학용어집

사전형태의 자료

리뷰, 에세이, 강의노트

Lorenzo Sadun, Lecture Notes on Differential Forms, arXiv:1604.07862 [math.AT], April 26 2016, http://arxiv.org/abs/1604.07862

메타데이터

위키데이터

ID : Q1047080

Spacy 패턴 목록

[{'LOWER': 'differential'}, {'LEMMA': 'form'}]

@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
-<h5>다른 과목과의 관련성</h5>
+==개요==
+* 미분형식을 통하여 다변수미적분학의 내용을 새롭게 쓸 수 있다
+* 3차원 공간에 정의된 스칼라함수와 벡터장을 3차원 공간에 정의된 미분형식으로 이해
+* 미분연산자는 미분형식 사이에 정의되는 사상으로 이해할 수 있다
-* [[다변수미적분학]]<br>
-** 외적
+==미분연산자==
+* [[미분연산자]]
+===grad===
+* 스칼라 함수 <math>f</math>에 대하여, <math>\operatorname{grad}(f) = \nabla f</math>는 다음과 같이 정의되는 벡터장이다
+:<math>
+\nabla f=( f_x, f_y,f_z)
+</math>
+* 벡터장 <math>\nabla f=( f_x, f_y,f_z)</math> 를 1-형식 <math>f_x\, {d}x + f_y\, {d}y+f_z\,dz</math>로 생각하자
+* <math>\operatorname{grad}(f) = \nabla f</math> 는 스칼라 함수를 1-형식으로 보내는 다음과 같은 사상으로 이해할 수 있다
+:<math>d_0=\nabla : f\mapsto f_x\, {d}x + f_y\, {d}y+f_z\,dz</math>
+===curl===
+* 벡터장 <math>\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)</math>에 대하여, <math>\operatorname{curl}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F}</math> 는 다음과 같이 정의되는 벡터장이다
+:<math>\nabla\times \mathbf{F}=\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}  - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) \mathbf{k}</math>
+* <math>\mathbf{F}</math>를 1-형식 <math>F_1dx+F_2dy+F_3dz</math>, <math>\operatorname{curl}(\mathbf{F})=\nabla \times \mathbf{F}</math>를 다음과 같은 2-형식으로 생각하자
+:<math>\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}  - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right) dy\wedge dz + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right) dz\wedge dx + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) dx\wedge dy</math>
+* 이로부터 curl, <math>\nabla\times</math> 는 1-형식을 2-형식으로 보내는 다음과 같은 사상으로 이해할 수 있다
+:<math>d_1:F_1dx+F_2dy+F_3dz\mapsto \left(\frac{\partial F_3}{\partial y}  - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right) dy\wedge dz + \left(\frac{\partial F_1}{\partial z} - \frac{\partial F_3}{\partial x}\right) dz\wedge dx + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\right) dx\wedge dy</math>
+===div===
+* 벡터장 <math>\mathbf{F}=(F_1, F_2,F_3)</math>에 대하여, <math>\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F}</math>는 다음과 같이 정의된 스칼라 함수이다
+:<math>
+\nabla \cdot \mathbf{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}
+</math>
+* 벡터장 <math>\mathbf{F}=(F_1, F_2,F_3)</math>를 2-형식 <math>F_1 dy \wedge dz +F_2 dz \wedge dx +F_3 dx \wedge dy</math>로, 스칼라 함수 <math>\nabla \cdot \mathbf{F}</math>를 다음과 같은 3-형식으로 생각하자
+:<math>
+\left(\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}\right)dx\wedge dy\wedge dz
+</math>
+* 미분연산자 div는 2-형식을 -3형식으로 보내는 다음과 같은 사상으로 이해할 수 있다
+:<math>
+d_2 : F_1 dy \wedge dz +F_2 dz \wedge dx +F_3 dx \wedge dy \mapsto \left(\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}\right)dx\wedge dy\wedge dz
+</math>
+===성질===
+* 임의의 스칼라 함수 <math>f</math>와 벡터장 <math>\mathbf{F}</math>에 대하여, 다음이 성립한다
+:<math>
+\nabla \times (\nabla f)=0\\
+\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F})=0
+</math>
+* 미분연산자를 미분형식에 정의되는 사상으로 이해하면, 이를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다
+:<math>
+d_1\circ d_0=d_2\circ d_1=0
+</math>
+==1-형식의 적분==
+* 곡선 <math>C</math>의 매개화가 <math>\mathbf{r}(t)=( x(t), y(t), z(t)), \quad a\leq t \leq b</math>로 주어지는 경우
+* 1-form <math>\omega=P\, {d}x + Q\, {d}y+R\,dz</math>
+* 곡선 C 위에서 1-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다
+:<math>\int_{C}\omega=\int_{a}^{b} \left(P(\mathbf{r}(t))\frac{dx}{dt}+Q(\mathbf{r}(t))\frac{dy}{dt}+R(\mathbf{r}(t))\frac{dz}{dt}\right) \,dt</math>
+* 곡선 C 위에서 1-형식<math>\omega=P\, {d}x + Q\, {d}y+R\,dz</math>의 적분은 벡터장<math>\mathbf{F}=(P,Q,R)</math>의 선적분과 같다
+:<math>\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{C}\omega</math>
+;증명
+:<math>\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t) \, dt=\int_{a}^{b}\left(P(\mathbf{r}(t))\frac{dx}{dt}+Q(\mathbf{r}(t))\frac{dy}{dt}+R(\mathbf{r}(t))\frac{dz}{dt}\right) \,dt=\int_{C}\omega</math> ■
+==2-형식의 적분==
+* 3차원의 매개곡면 <math>S</math>, <math>\mathbf{r} (u,v)=( x(u,v), y(u,v), z(u,v)),\quad (u,v)\in D</math>
+* 2-form <math>\omega= F_1\, dy \wedge dz + F_2\, dz \wedge dx+F_3\, dx \wedge dy</math>
+*  S 위에서 2-형식의 적분은 다음과 같이 정의된다:<math>\iint_{S}\omega=\iint_D \left[ F_{1} ( \mathbf{r} (u,v))\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)} + F_{2} ( \mathbf{r} (u,v))\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}F_{3} ( \mathbf{r} (u,v)) \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right]\, du\, dv</math>
+*  곡면 S위에서 2-형식 <math>\omega= F_1\, dy \wedge dz + F_2\, dz \wedge dx+F_3\, dx \wedge dy</math>의 적분은 벡터장<math>\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)</math>의 적분과 같다:<math>\iint_S\ \mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{S}=\iint_{S}\omega</math>
+;증명
+다음을 관찰하자
+:<math>{\partial \mathbf{r} \over \partial u}\times {\partial \mathbf{r} \over \partial v}=\left(\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}, \frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}, \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v))}\right)</math>
+다음을 얻는다
+:<math>\iint_S\ \mathbf{F}\cdot\,d\mathbf{S}=\iint_D (F_1,F_2,F_3)\cdot ({\partial \mathbf{x} \over \partial u}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial v})\, du\, dv=\iint_{S}\omega</math>. ■
+==응용1. 스토크스 정리==
+* [[스토크스 정리]]
+:<math>\int_S d\omega = \int_{\partial S} \omega</math>
+==관련된 항목들==
+* [[다변수미적분학]]
+** [[벡터의 외적(cross product)]]
 ** 스토크스정리의 일반화
-* [[선형대수학]]<br>
+* [[선형대수학]]
-** 행렬식
+** [[행렬식]]
 * [[미분기하학]]
-<h5>관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들</h5>
+==수학용어번역==
+* {{학술용어집|url=gradient}}
-<h5>사전형태의 자료</h5>
-*   <br>
+==사전형태의 자료==
-* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%AF%B8%EB%B6%84%ED%98%95%EC%8B%9D ][http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%AF%B8%EB%B6%84%ED%98%95%EC%8B%9D http://ko.wikipedia.org/wiki/미분형식]
-* [http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_forms ]http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_forms
+* http://ko.wikipedia.org/wiki/미분형식
+* http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_forms
-<h5>관련논문</h5>
-* [http://www.jstor.org/stable/2688847 Covariant and Contravariant Vectors]<br>
+==관련논문==
+* [http://www.jstor.org/stable/2688847 Covariant and Contravariant Vectors]
 ** S. R. Deans, <cite>Mathematics Magazine</cite>, Vol. 44, No. 1 (Jan., 1971), pp. 5-8
-* [http://www.jstor.org/stable/2687253 Differential Forms for Constrained Max-Min Problems: Eliminating Lagrange Multipliers]<br>
+* [http://www.jstor.org/stable/2687253 Differential Forms for Constrained Max-Min Problems: Eliminating Lagrange Multipliers]
 ** Frank Zizza, <cite>The College Mathematics Journal</cite>, Vol. 29, No. 5 (Nov., 1998), pp. 387-396
-* [http://www.jstor.org/stable/2307716 What are Tensors?]<br>
+* [http://www.jstor.org/stable/2307716 What are Tensors?]
 ** Peter Scherk and Michael Kwizak, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 58, No. 5 (May, 1951), pp. 297-305
-* [http://www.jstor.org/stable/2695706 Differential Forms, the Early Days; or the Stories of Deahna's Theorem and of Volterra's Theorem]<br>
+* [http://www.jstor.org/stable/2695706 Differential Forms, the Early Days; or the Stories of Deahna's Theorem and of Volterra's Theorem]
-*   <br>
 ** Hans Samelson, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 108, No. 6 (Jun. - Jul., 2001), pp. 522-530
+==관련도서==
-<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련도서 및 추천도서</h5>
+* [http://www.amazon.com/Differential-Forms-Applications-Universitext-Manfredo/dp/3540576185 Differential Forms and Applications]
+**  Manfredo P. Do Carmo
-* [http://www.amazon.com/Differential-Forms-Applications-Universitext-Manfredo/dp/3540576185 Differential Forms and Applications]<br>
+* [http://www.amazon.com/Calculus-Cohomology-Rham-Characteristic-Classes/dp/0521589568 From Calculus to Cohomology: De Rham Cohomology and Characteristic Classes]
-**  Manfredo P. Do Carmo<br>
+**  Ib H. Madsen (Author), Jxrgen Tornehave
-* [http://www.amazon.com/Calculus-Cohomology-Rham-Characteristic-Classes/dp/0521589568 From Calculus to Cohomology: De Rham Cohomology and Characteristic Classe]<br>[http://www.amazon.com/Calculus-Cohomology-Rham-Characteristic-Classes/dp/0521589568 ]<br>
-**  Ib H. Madsen (Author), Jxrgen Tornehave<br>
 ** 뒷부분은 학부생이 보기에 다소 어렵지만, 앞부분만으로도 가치가 있음.
-*  도서내검색<br>
+[[분류:교과목]]
-** http://books.google.com/books?q=
+[[분류:미적분학]]
-** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
-*  도서검색<br>
-** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
-** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
+== 리뷰, 에세이, 강의노트 ==
-<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
+* Lorenzo Sadun, Lecture Notes on Differential Forms, arXiv:1604.07862 [math.AT], April 26 2016, http://arxiv.org/abs/1604.07862
-* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
+==메타데이터==
-** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=form
+===위키데이터===
-* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q1047080 Q1047080]
+===Spacy 패턴 목록===
+* [{'LOWER': 'differential'}, {'LEMMA': 'form'}]