베르누이 미분방정식

수학노트
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개요

  • \(y'+ P(x)y = Q(x)y^n\)
  • 적분으로 풀 수 있는 일계 비선형 미분방정식
  • \(w={y^{-n+1}}\)로 치환하여 일계 선형미분방정식으로 변형할 수 있다

 

 

미분방정식의 풀이

\(y'+ P(x)y = Q(x)y^n\)

\(y^n\)으로 양변을 나누자.

\(\frac{y'}{y^{n}} + \frac{P(x)}{y^{n-1}} = Q(x)\)

\(w={y^{-n+1}}\)로 치환하면, \(w'=\frac{(1-n)}{y^{n}}y'\)

\(\frac{w'}{1-n} + P(x)w = Q(x)\)를 얻는다.

\({w'} + (1-n)P(x)w = (1-n)Q(x)\) 는 일계 선형미분방정식이 된다.

이제 적분인자 \(\mu(x)=e^{(1-n)\int P(x) dx}\)를 양변에 곱하여 풀 수 있다.


 

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