베이커의 정리

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개요

 

 

베이커의 정리

버전1

0이 아닌 대수적수 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 에 대하여 \(\log \alpha_1,\cdots,\log \alpha_n\)이 유리수체 위에서 선형독립이라고 가정하자. 

그러면 \(1, \log \alpha_1,\cdots,\log \alpha_n\)은 대수적수체 위에서 선형독립이다.

 

버전2

0이 아닌 대수적수 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\)와  대수적수 \(\beta_0,\cdots, \beta_n\)에 대하여, \(\sum_{m=1}^{n}\beta_m\log \alpha_m\) 는 0 또는 초월수이다.

 

 

겔폰드-슈나이더 정리와의 관계

  • 베이커의 정리는 다음 겔폰드-슈나이더 정리 의 일반화로 이해할 수 있다.
  • \(\alpha \ne 0\),\(\alpha \ne 1\),\(\beta\notin \mathbb{Q}\) 인 복소수 \(\alpha\)와 \(\beta\) 가 대수적수이면, \(\alpha^{\beta} =e^{\beta \log \alpha}\) 는 초월수이다.
  • 만약 \(\alpha^{\beta} =e^{\beta \log \alpha}\)가 어떤 대수적수 \(\gamma\)라고 하면, \(\alpha^{\beta} =\gamma\)가 성립한다. 
  • 양변에 로그를 취하면, \({\beta}\log \alpha =\log \gamma\) 가 되어, \(\log \alpha\)와 \(\log \gamma\)가 대수적수체 위에서 선형독립이라는 베이커의 정리에 의해 모순을 얻는다. 

 

   

역사

 

 

관련된 항목들

 

   

 

사전 형태의 자료

 

 

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