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* [[겔폰드-슈나이더 정리]]의 일반화
 
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<h5 class="section" style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">겔폰드-슈나이더 정리</h5>
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<h5 class="section" style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">겔폰드-슈나이더 정리와의 관계</h5>
  
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* [[겔폰드-슈나이더 정리]]<br><math>\alpha \ne 0</math>,<math>\alpha \ne 1</math>,<math>\beta\notin \mathbb{Q}</math> 인 복소수 <math>\alpha</math>와 <math>\beta</math> 가 대수적수이면, <math>\alpha^{\beta} =e^{\beta \log \alpha</math> 는 초월수이다.<br>
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* 베이커의 정리는 다음 [[겔폰드-슈나이더 정리]] 의 일반화로 이해할 수 있다.<br><math>\alpha \ne 0</math>,<math>\alpha \ne 1</math>,<math>\beta\notin \mathbb{Q}</math> 인 복소수 <math>\alpha</math>와 <math>\beta</math> 가 대수적수이면, <math>\alpha^{\beta} =e^{\beta \log \alpha</math> 는 초월수이다.<br>
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*  만약 <math>\alpha^{\beta} =e^{\beta \log \alpha</math>가 어떤 대수적수 <math>\gamma</math>라고 하면, <math>\alpha^{\beta} =\gamma</math>가 성립한다. <br>
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*  양변에 로그를 취하면, <math>{\beta}\log \alpha =\log \gamma</math> 가 되어, <math>\log \alpha</math>와 <math>\log \gamma</math>가 대수적수체 위에서 선형독립이라는 베이커의 정리에 의해 모순을 얻는다. <br>
  
 
 
 
 

2010년 7월 28일 (수) 17:27 판

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개요

 

 

베이커의 정리

버전1

0이 아닌 대수적수 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\) 에 대하여 \(\log \alpha_1,\cdots,\log \alpha_n\)이 유리수체 위에서 선형독립이라고 가정하자. 

그러면 \(1, \log \alpha_1,\cdots,\log \alpha_n\)은 대수적수체 위에서 선형독립이다.

 

버전2

0이 아닌 대수적수 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\)와  대수적수 \(\beta_0,\cdots, \beta_n\)에 대하여, \(\sum_{m=1}^{n}\beta_m\log \alpha_m\) 는 0 또는 초월수이다.

 

 

겔폰드-슈나이더 정리와의 관계
  • 베이커의 정리는 다음 겔폰드-슈나이더 정리 의 일반화로 이해할 수 있다.
    \(\alpha \ne 0\),\(\alpha \ne 1\),\(\beta\notin \mathbb{Q}\) 인 복소수 \(\alpha\)와 \(\beta\) 가 대수적수이면, \(\alpha^{\beta} =e^{\beta \log \alpha\) 는 초월수이다.
  • 만약 \(\alpha^{\beta} =e^{\beta \log \alpha\)가 어떤 대수적수 \(\gamma\)라고 하면, \(\alpha^{\beta} =\gamma\)가 성립한다. 
  • 양변에 로그를 취하면, \({\beta}\log \alpha =\log \gamma\) 가 되어, \(\log \alpha\)와 \(\log \gamma\)가 대수적수체 위에서 선형독립이라는 베이커의 정리에 의해 모순을 얻는다. 

 

 

 

역사

 

 

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