복소 사영 공간

수학노트
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개요

  • 복소사영공간 $\mathbb{C}P^{n}$은 벡터공간 $\mathbb{C}^{n+1}$의 1차원 부분공간의 집합으로 정의됨

$$ \mathbb{C}P^{n}=(\mathbb{C}^{n+1}-\{0\})/\sim $$ 여기서 $a,b\in \mathbb{C}^{n+1}$ 적당한 $\lambda\in \mathbb{C}^{\times}$가 존재하여 $a=\lambda b$일 때, $a\sim b$로 씀

  • $2n$차원 미분다양체이며, $n$차원 복소다양체
  • 리만구면 = 1차원 복소사영공간
  • 캘러다양체의 예


fiber bundle

  • $S^1 \hookrightarrow S^{2n+1} \twoheadrightarrow \mathbb{C}P^{n}$
  • $n=1$의 경우

$$ S^1 \hookrightarrow S^{3} \twoheadrightarrow \mathbb{C}P^{1}\cong S^2 $$


호몰로지 군

\[ H_{i}(\mathbb{C}P^n,\mathbb{Z})\simeq \begin{cases} \mathbb{Z} & \mbox{if } i = 0,2,\cdots, 2n \\ 0 & \mbox{if } i = 1,3,\cdots, 2n-1 \end{cases} \]


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