복잡 연결망에서 유한크기 눈금잡기2
\(m=L^{-\beta/\nu_T}g(L^{1/\nu_T}\epsilon)=N^{-\beta/\bar\nu}g(N^{1/\bar\nu}\epsilon),\ N=L^d,\ \bar\nu=d\nu_T\)
복잡 연결망에서 유한크기 눈금잡기(Finite-size scaling in complex networks)에서 자기화의 FSS(유한크기 눈금잡기) 형태를 다시 쓰면 위와 같습니다. 이는 연결망에서의 FSS를 위한 준비작업에 해당합니다. 그래서 공간차원이랄게 없는, 즉 대개 차원이 무한하다고 여겨지는 연결망에 FSS 이론을 적용하기 위해 L대신 N을 쓰고 ν대신 여기에 d를 곱한 지수, 즉 ν 위에 작대기를 그은 것(;;; 여튼 'ν바(bar)'로 쓰겠습니다.)을 새로 정의합니다. 윗임계차원보다 높은 차원에서 ν바는 2인데, 이는 또한 윗임계차원에 가우스 길이에 관한 지수 νG를 곱한 값과도 같다고 합니다.
다음으로 척도없는 연결망(scale-free network; SFN) 위의 이징 모형에 대한 란다우 자유에너지를 써보겠습니다. 이는 도로고프체프(S.N. Dorogovtsev; 발음이 맞나요?) 팀에서 처음 제시한 것인데요, 일단 보시죠.
\(P(k)\sim k^{-\lambda},\ f(m)=-\epsilon m^2+um^4+v|m|^{\lambda-1}+\mathcal{O}(m^6)\)
보통 이웃수분포의 지수는 γ로 표기하는데 여기서는 감수율의 임계지수로 이미 쓰고 있으므로 대신 λ를 이용합니다. 저런 형태의 이웃수분포가 왜 m의 λ - 1 제곱꼴로 자유에너지에 도입되는지를 간단히 살펴보겠습니다. (도로고프체프 연구팀의 2003년 PRE 논문을 보시면 더 자세한 유도과정을 보실 수 있습니다.)
자기화가 m인 상태에서 이웃수가 k인 어떤 스핀은 이웃들로부터 대략 km 정도의 영향을 받겠죠. 이로 인한 자유에너지를 간단히 φ(km)으로 쓰겠습니다. 그런데 시스템 전체의 자유에너지에는 가능한 모든 k에 대한 영향이 모두 고려되어야 합니다. 즉 이웃수분포를 곱해서 더해주면(적분해주면) 되겠죠.
\(\sum_k P(k)\phi(km)\approx \int dkP(k)\phi(km)\propto m^{\lambda-1}\times const.\)
위의 마지막 '상수(const.)'에는 함수 φ에 관한 정적분 값이 포함되는데 m과 무관한 상수입니다.
다시 저 위의 란다우 자유에너지를 봅시다. 자유에너지를 m으로 전개하는 건 m이 매우 작다는 전제에서 가능합니다. 그러므로 높은 차수의 항들은 무시할 수 있지요. 그럼 척도없는 연결망에 의해 튀어나온 저 새로운 항이 무시할만한지 아닌지는 λ에 따라 달라집니다.
λ가 5보다 크다면 m의 4제곱 항보다 높은 차수가 되므로 무시할 수 있습니다. 그러면 기존의 평균장(mean-field) 결과가 그대로 나오겠죠. 즉
\(\beta=1/2,\ \bar\nu = 2\)
입니다.
λ가 5보다 작고 3보다 크다면 이제 m의 4제곱 항이 무시됩니다. 여기서 앞 글에서 제시된 방울 들뜸 논의를 그대로 적용하면 알고자 하는 임계지수들을 모두 λ의 함수로 새롭게 구해낼 수 있습니다.
\(\beta=1/(\lambda-3),\ \bar\nu = (\lambda-1)/(\lambda-3)\)
마지막으로 λ가 3보다 작다면 온도에 비례하는 계수를 가진 m의 제곱항보다도 λ - 1 제곱한 항이 우세해지므로 온도가 유한하다면 상전이가 일어나지 않습니다.
이런 논의들이 가능한 건, 척도없는 연결망의 이웃수분포가 그 정의에 의해 거듭제곱꼴이기 때문입니다. 그래서 이웃수분포의 거듭제곱 지수가 자유에너지의 다른 항들과 경쟁하여 경우에 따라 임계지수를 바꾸기도 하는데, 그러면서 자연스럽게 임계지수가 이웃수분포의 거듭제곱 지수로 씌어집니다. 또한 그 과정에서 기존의 FSS를 수정한 새로운 형태를 제시함으로써 이런 논의들이 매끄럽게 이어지는 것 같습니다.
다만 아직까지 가우스 길이와 방울 길이에 관한 논의들이 척도없는 연결망에서는 어떤 식으로 재해석될 수 있는지, 아니면 이미 평균장이 적용되므로 그냥 상관없는 얘기가 되는건지 정리가 안되네요. 이 논문의 마지막 부분은 비평형 통계물리 모형에 대한 논의와 시늉내기 결과로 이루어집니다. 이건 나중에 여유가 더 생기면 정리해보도록 하죠.