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| − | 복소수열 | + | 복소수열 <math>\{a_n\}_{n=0}^\infty</math>과 생성함수 <math>A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n</math>에 대하여 다음은 동치이다 |
| − | (1) 충분히 큰 | + | (1) 충분히 큰 <math>n</math>에 대하여 다음 형태의 점화식이 성립한다 |
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a_n+q_1a_{n-1}+q_2a_{n-2}+\cdots+q_ka_{n-k}=0 \label{lin} | a_n+q_1a_{n-1}+q_2a_{n-2}+\cdots+q_ka_{n-k}=0 \label{lin} | ||
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| − | (2) 생성함수 | + | (2) 생성함수 <math>A(x)</math>는 유리함수이다. 즉, 서로 소인 다항식 <math>P(x),Q(x)</math>가 존재하여, <math>A(x)=P(x)/Q(x)</math>이 성립한다. |
| − | (3) 복소수 | + | (3) 복소수 <math>\alpha_1,\cdots, \alpha_r</math>과 다항식 <math>f_1(n),\cdots, f_r(n)</math>이 존재하여, 충분히 큰 <math>n</math>에 대하여 다음이 성립한다 |
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a_n=\sum_{i=1}^{r}f_i(n)\alpha_i^n \label{asym} | a_n=\sum_{i=1}^{r}f_i(n)\alpha_i^n \label{asym} | ||
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===관계=== | ===관계=== | ||
| − | * 생성함수가 | + | * 생성함수가 <math>A(x)=P(x)/Q(x)</math>, <math>Q(x)=1+q_1x+\cdots+q_k x^k</math>인 경우, 선형점화식 \ref{lin}을 얻는다 |
| − | * 다항식 | + | * 다항식 <math>Q(x)=\prod_{i=1}^{r}(x-\alpha_i^{-1})^{d_i}</math>일 때, \ref{asym}에서 <math>\deg f_i=d_i-1</math>. |
==선형점화식의 예== | ==선형점화식의 예== | ||
===등비수열=== | ===등비수열=== | ||
| − | * 점화식 | + | * 점화식 <math>a_n=r a_{n-1}, a_0=1</math> |
| − | * 일반항은 | + | * 일반항은 <math>a_n=r^n</math> |
* 생성함수는 다음과 같다 | * 생성함수는 다음과 같다 | ||
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A(x)=\sum _{n=0}^{\infty } a_n x^n=\sum _{n=0}^{\infty } r^n x^n=\frac{1}{1-r x} | A(x)=\sum _{n=0}^{\infty } a_n x^n=\sum _{n=0}^{\infty } r^n x^n=\frac{1}{1-r x} | ||
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* 점화식 <math>a_{n+2} = a_{n+1} + a_n</math>, <math>a_0 = a_ 1 = 1</math> | * 점화식 <math>a_{n+2} = a_{n+1} + a_n</math>, <math>a_0 = a_ 1 = 1</math> | ||
* 생성함수는 다음과 같이 주어진다 | * 생성함수는 다음과 같이 주어진다 | ||
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A(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=\frac{1}{1-x-x^2} | A(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=\frac{1}{1-x-x^2} | ||
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| − | * 분모 | + | * 분모 <math>Q(x)=1-x-x^2</math>의 해는 <math>\alpha_1^{-1}=\frac{1}{2} \left(-1-\sqrt{5}\right),\alpha_3^{-1}=\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}-1\right)</math>이다 |
* 피보나치 수열의 일반항은 다음과 같이 주어진다 | * 피보나치 수열의 일반항은 다음과 같이 주어진다 | ||
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a_n=A\alpha_1^n+B\alpha_2^n=A \left(\frac{1}{2} \left(1-\sqrt{5}\right)\right)^n+B \left(\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{5}\right)\right)^n | a_n=A\alpha_1^n+B\alpha_2^n=A \left(\frac{1}{2} \left(1-\sqrt{5}\right)\right)^n+B \left(\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{5}\right)\right)^n | ||
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여기서 | 여기서 | ||
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A= \frac{1}{10} \left(5-\sqrt{5}\right),B= \frac{1}{10} \left(5+\sqrt{5}\right) | A= \frac{1}{10} \left(5-\sqrt{5}\right),B= \frac{1}{10} \left(5+\sqrt{5}\right) | ||
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* [[피보나치 수열]] 항목 참조 | * [[피보나치 수열]] 항목 참조 | ||
===다항식으로 주어진 수열=== | ===다항식으로 주어진 수열=== | ||
| − | * 일반항이 | + | * 일반항이 <math>a_n=\frac{1}{6} (n+1) (n+2) (n+3)</math>으로 주어진 수열 |
| − | * | + | * <math>1,4,10,20,35,56,84,120,\cdots</math> |
* 다음의 선형점화식을 만족시킨다 | * 다음의 선형점화식을 만족시킨다 | ||
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a_n-4 a_{n-1}+6 a_{n-2}-4 a_{n-3}+a_{n-4}=0 | a_n-4 a_{n-1}+6 a_{n-2}-4 a_{n-3}+a_{n-4}=0 | ||
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* 생성함수는 다음과 같다 | * 생성함수는 다음과 같다 | ||
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A(x)=\sum _{n=0}^{\infty } a_n x^n=\sum _{n=0}^{\infty } \left(\frac{1}{6} (n+1) (n+2) (n+3)\right) x^n=\frac{1}{(1-x)^4}=\frac{1}{x^4-4 x^3+6 x^2-4 x+1} | A(x)=\sum _{n=0}^{\infty } a_n x^n=\sum _{n=0}^{\infty } \left(\frac{1}{6} (n+1) (n+2) (n+3)\right) x^n=\frac{1}{(1-x)^4}=\frac{1}{x^4-4 x^3+6 x^2-4 x+1} | ||
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==이계 상수계수 선형점화식== | ==이계 상수계수 선형점화식== | ||
2020년 11월 16일 (월) 05:03 판
개요
- 선형점화식은 선형 미분방정식의 이론과 유사한 점이 많다
- 선형대수학의 도구들을 사용할 수 있다
- 점화식, 미분방정식, 선형대수학 항목 참조
기본 정리
- 정리
복소수열 \(\{a_n\}_{n=0}^\infty\)과 생성함수 \(A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)에 대하여 다음은 동치이다
(1) 충분히 큰 \(n\)에 대하여 다음 형태의 점화식이 성립한다 \[ a_n+q_1a_{n-1}+q_2a_{n-2}+\cdots+q_ka_{n-k}=0 \label{lin} \] (2) 생성함수 \(A(x)\)는 유리함수이다. 즉, 서로 소인 다항식 \(P(x),Q(x)\)가 존재하여, \(A(x)=P(x)/Q(x)\)이 성립한다.
(3) 복소수 \(\alpha_1,\cdots, \alpha_r\)과 다항식 \(f_1(n),\cdots, f_r(n)\)이 존재하여, 충분히 큰 \(n\)에 대하여 다음이 성립한다 \[ a_n=\sum_{i=1}^{r}f_i(n)\alpha_i^n \label{asym} \]
관계
- 생성함수가 \(A(x)=P(x)/Q(x)\), \(Q(x)=1+q_1x+\cdots+q_k x^k\)인 경우, 선형점화식 \ref{lin}을 얻는다
- 다항식 \(Q(x)=\prod_{i=1}^{r}(x-\alpha_i^{-1})^{d_i}\)일 때, \ref{asym}에서 \(\deg f_i=d_i-1\).
선형점화식의 예
등비수열
- 점화식 \(a_n=r a_{n-1}, a_0=1\)
- 일반항은 \(a_n=r^n\)
- 생성함수는 다음과 같다
\[ A(x)=\sum _{n=0}^{\infty } a_n x^n=\sum _{n=0}^{\infty } r^n x^n=\frac{1}{1-r x} \]
- 등비수열 항목 참조
피보나치 수열
- 점화식 \(a_{n+2} = a_{n+1} + a_n\), \(a_0 = a_ 1 = 1\)
- 생성함수는 다음과 같이 주어진다
\[ A(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=\frac{1}{1-x-x^2} \]
- 분모 \(Q(x)=1-x-x^2\)의 해는 \(\alpha_1^{-1}=\frac{1}{2} \left(-1-\sqrt{5}\right),\alpha_3^{-1}=\frac{1}{2} \left(\sqrt{5}-1\right)\)이다
- 피보나치 수열의 일반항은 다음과 같이 주어진다
\[ a_n=A\alpha_1^n+B\alpha_2^n=A \left(\frac{1}{2} \left(1-\sqrt{5}\right)\right)^n+B \left(\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{5}\right)\right)^n \] 여기서 \[ A= \frac{1}{10} \left(5-\sqrt{5}\right),B= \frac{1}{10} \left(5+\sqrt{5}\right) \]
- 피보나치 수열 항목 참조
다항식으로 주어진 수열
- 일반항이 \(a_n=\frac{1}{6} (n+1) (n+2) (n+3)\)으로 주어진 수열
- \(1,4,10,20,35,56,84,120,\cdots\)
- 다음의 선형점화식을 만족시킨다
\[ a_n-4 a_{n-1}+6 a_{n-2}-4 a_{n-3}+a_{n-4}=0 \]
- 생성함수는 다음과 같다
\[ A(x)=\sum _{n=0}^{\infty } a_n x^n=\sum _{n=0}^{\infty } \left(\frac{1}{6} (n+1) (n+2) (n+3)\right) x^n=\frac{1}{(1-x)^4}=\frac{1}{x^4-4 x^3+6 x^2-4 x+1} \]
이계 상수계수 선형점화식
동차인 경우
- \(pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = 0\) 꼴의 점화식
\(p+q+r =0\) 일 때
- 잘 정리하면 \(a_{n+2} - a_{n+1} = r(a_{n+1} - a_n)\) 의 형태로 만들 수 있다. 그러면 계차수열 \(b_n = a_{n+1} - a_{n}\) 에 대한 등차수열이라고 생각하고, \(b_n\) 을 구한다.
\(p+q+r \ne 0 \) 일 때
- 다항식 \(px^2 + qx + r = 0 \) 의 두 근을 \(\alpha, \beta\) 라 하면, \(a_n = A\alpha^{n-1} + B\beta^{n-1}\) 꼴이며, 초기항 두 개를 아는 경우 상수를 찾을 수 있다.
- 중근 \(\alpha\) 를 가지는 경우에는 \(a_n = A\alpha^{n-1} + Bn\alpha^{n-1}\) 꼴이 된다.
- \(px^2 + qx + r = 0 \) 의 두 근 \(\alpha, \beta\) 에 대하여, \(p(\alpha+ \beta) = -q,\quad p(\alpha \beta) = r\) 이다. (근과 계수와의 관계) 그러므로\[a_{n+2} - (\alpha + \beta)a_{n+1} + \alpha \beta a_n = 0\] 라고 쓸 수 있다. 이제 \(a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \beta(a_{n+1} -\alpha a_n)\) 으로 쓸 수 있다. \((a_{n+1} -\beta a_n)\) 에 대한 등비수열을 풀기.\[a_{n+2} - \beta a_{n+1} = \alpha (a_{n+1} -\beta a_n)\] 로도 쓸 수 있다. \((a_{n+1} -\alpha a_n)\) 에 대한 등비수열을 풀기. 연립해서 \(a_{n+1}\) 을 소거하면 끝! 중근을 가지는 경우에 대한 유도는 독자에게 맡긴다. 이 점화식을 \(p+q+r=0\) 인 점화식에 적용해서 풀지 말라는 법도 없다. 한 근이 무조건 1 이 나와서, (등비수열) + (상수) 꼴의 일반항이 나온다.
동차가 아닌 경우
- \(pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n = b_n\) 꼴의 점화식
- 양변에 적당히 \(n\) 에 대한 식을 더해서 공비 \(r\) 에 대한 등비수열 꼴로 만들 수 있는 경우가 많다.
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxRmxDNTdQT1FRV0E/edit?usp=drivesdk
- http://fusharblog.com/solving-linear-recurrence-for-programming-contest/
사전 형태의 자료