선형대수학

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• 선형대수학

 

 

개요

• 고등학교에서 배우는 3차원 공간벡터의 성질들을 추상화하여, 일반적인 벡터공간을 정의하고, 그 공간들 사이의 함수가 되는 선형사상 및 행렬을 공부함.
• 선형사상과 행렬의 대비 및 둘 사이의 긴장감을 공부함.
• 수학에서 많이 사용되는 언어를 익히는 부분과, 일차방정식의 해, 정방행렬의 분류와 같은 선형대수학 자체의 문제로 볼 수 있는 부분이 섞여 있음.
   
  

다루는 대상

• 벡터, 벡터공간, 행렬, 선형사상

 

중요한 개념 및 정리

• 벡터공간
  
  • 스칼라와 벡터
  • 선형대수학 = 체의 모듈 이론
• 선형사상
• 행렬 
  
  • 선형사상을 구체적으로 표현하기 위한 언어
• 연립방정식 풀기
  
  • row reduction 을 통한 해 구하기
  • 역행렬을 통한 해 구하기
  • LU 분해, LDU 분해, PLU 분해. …
• Fundamental spaces of a matrix
  
  • 열공간, 행공간, 영공간(null space), 전치행렬의 영공간
• Dimension 정리
• 행렬식
• 고유값, 고유벡터, 대각화
• 선형 사상의 분해 또는 Jordan canonical form 에 따른 n x n 행렬의 분류
  
  • 대각화의 일반화
  • Principal Ideal Domain의 module theory의 관점에서 바라볼 수 있음.
• 내적공간
  
  • 거리와 각도를 잴 수 있는 벡터공간

 

\(\mathbf{X}=\left(\begin{array}{ccc}x_{11} & x_{12} & \ldots \\x_{21} & x_{22} & \ldots \\\vdots & \vdots & \ddots\end{array} \right)\)

\(\Large A\ =\ \large\left( \begin{array}{c.cccc}&1&2&\cdots&n\\ \hdash1&a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ 2&a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ n&a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right)\)

 

\(\normalsize \left(\large\begin{array}{GC+23} \varepsilon_x\\\varepsilon_y\\\varepsilon_z\\\gamma_{xy}\\ \gamma_{xz}\\\gamma_{yz}\end{array}\right)\ {\Large=} \ \left[\begin{array}{CC} \begin{array}\frac1{E_{\fs{+1}x}} &-\frac{\nu_{xy}}{E_{\fs{+1}x}} &-\frac{\nu_{\fs{+1}xz}}{E_{\fs{+1}x}}\\ -\frac{\nu_{yx}}{E_y}&\frac1{E_{y}}&-\frac{\nu_{yz}}{E_y}\\ -\frac{\nu_{\fs{+1}zx}}{E_{\fs{+1}z}}& -\frac{\nu_{zy}}{E_{\fs{+1}z}} &\frac1{E_{\fs{+1}z}}\end{array} & {\LARGE 0} \\ {\LARGE 0} & \begin{array}\frac1{G_{xy}}&&\\ &\frac1{G_{\fs{+1}xz}}&\\&&\frac1{G_{yz}}\end{array} \end{array}\right] \ \left(\large\begin{array} \sigma_x\\\sigma_y\\\sigma_z\\\tau_{xy}\\\tau_{xz}\\\tau_{yz} \end{array}\right)\)

\(\normalsize \left(\large\begin{array}{GC+23} \varepsilon_x\\\varepsilon_y\\\varepsilon_z\\\gamma_{xy}\\ \gamma_{xz}\\\gamma_{yz}\end{array}\right)\ {\Large=} \ \left[\begin{array}{CC} \begin{array}\frac1{E_{\fs{+1}x}} &-\frac{\nu_{xy}}{E_{\fs{+1}x}} &-\frac{\nu_{\fs{+1}xz}}{E_{\fs{+1}x}}\\ -\frac{\nu_{yx}}{E_y}&\frac1{E_{y}}&-\frac{\nu_{yz}}{E_y}\\ -\frac{\nu_{\fs{+1}zx}}{E_{\fs{+1}z}}& -\frac{\nu_{zy}}{E_{\fs{+1}z}} &\frac1{E_{\fs{+1}z}}\end{array} & {\LARGE 0} \\ {\LARGE 0} & \begin{array}\frac1{G_{xy}}&&\\ &\frac1{G_{\fs{+1}xz}}&\\&&\frac1{G_{yz}}\end{array} \end{array}\right] \ \left(\large\begin{array} \sigma_x\\\sigma_y\\\sigma_z\\\tau_{xy}\\\tau_{xz}\\\tau_{yz} \end{array}\right)\)

 

 

유명한 정리 혹은 재미있는 문제

• 케일리-해밀턴 정리
   
  

선수 과목

• 대학과정에서 요구되는 선수 과목은 없음.
• 고교 수학의 행렬, 일차변환에의 익숙함은 도움이 됨.
   
  

다른 과목과의 관련성

• 다변수미적분학
• 상미분방정식
• 해석학 
  
  • 내적공간의 개념은 해석학 과목에서 푸리에 시리즈를 공부할 때 필요함.
  • 해석학에서 유용한 개념인 힐버트 공간은 선형대수학의 내적공간의 개념을 요청함.
• 양자역학
  
  • 양자역학은 힐버트 공간의 벡터와 그에 작용하는 Hermitian operator의 언어로 기술됨.

 

 

관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들

• Multilinear algebra
• 코딩이론
  
  • 선형대수를 처음 배울 때는, 보통 스칼라로 사용하는 체를 실수 혹은 복소수로 생각하게 됨.
  • 코딩이론은 유한체 위에서 행해지는 선형대수학
• 이차형식
  
  • 내적공간의 일반화로서, 좀더 일반적인 symmetric bilinear form 이 주어져 있는 벡터공간, 즉 quadratic space 에 대한 공부는 이차형식의 영역으로 안내.
    
• 유한군의 표현론
• 리대수와 표현론

 

 

메모

• principal axis theorem

 

 

관련논문

• The Growing Importance of Linear Algebra in Undergraduate Mathematics
  
  • Alan Tucker, The College Mathematics Journal, Vol. 24, No. 1 (Jan., 1993), pp. 3-9

• Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra
  
  • Desmond Fearnley-Sander, The American Mathematical Monthly, Vol. 86, No. 10 (Dec., 1979), pp. 809-817
• The Linear Algebra Curriculum Study Group Recommendations for the First Course in Linear Algebra
  
  • David Carlson, Charles R. Johnson, David C. Lay and A. Duane Porter, The College Mathematics Journal, Vol. 24, No. 1 (Jan., 1993), pp. 41-46
• Linear Algebra, a Potent Tool
  
  • Anneli Lax, The Two-Year College Mathematics Journal, Vol. 7, No. 2 (May, 1976), pp. 3-15
• A Gemstone in Matrix Algebra
  
  • Tony Crill, The Mathematical Gazette, Vol. 76, No. 475, The Use of the History of Mathematics in the Teaching of Mathematics (Mar., 1992), pp. 182-188
• Gauss-Jordan Reduction: A Brief History
  
  • Steven C. Althoen and Renate McLaughlin, The American Mathematical Monthly, Vol. 94, No. 2 (Feb., 1987), pp. 130-142