원시근에 대한 아틴의 추측

수학노트
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개요

  • 거듭제곱이 아닌 \(\mathbb{Q^{\times}}\backslash\{-1,0,1\}\) 의 원소 a에 대하여, 소수 p에 대하여 \((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}\)에서의 multiplicative order를 정의할 수 있다
  • 완전제곱이 아니고 -1이 아닌 정수 $a$를 고정하자
  • $p$를 바꿔가면서 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$에서 $a$가 원시근이 되는 빈도를 생각할 수 있다
  • 아틴의 추측에 의하면 이 빈도는 $a$에 의존하지 않으며, 아틴 상수에 의해 주어진다

\[C_{\mathrm{Artin}}=\prod_{p\ \mathrm{prime}} \left(1-\frac{1}{p(p-1)}\right) = 0.3739558136\ldots\]


  • 가령 2는 다음과 같은 소수 $p<500$에 대하여 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$의 원시근이 된다
  • 3,5,11,13,19,29,37,53,59,61,67,83,101,107,131,139,149,163,173,179,181,197,211,227,269,293,317,347,349,373,379,389,419,421,443,461,467,491


테이블

  • 다음 표는 첫 10000개의 소수에 대하여 $a$가 원시근이 되는 빈도이다

\begin{array}{c|c} a & \text{ratio} \\ \hline 2 & 0.37500 \\ 3 & 0.37700 \\ 5 & 0.39580 \\ 6 & 0.37530 \\ 7 & 0.37610 \\ 10 & 0.37550 \\ 11 & 0.37890 \\ 13 & 0.37920 \\ 14 & 0.37700 \\ 15 & 0.37560 \\ 17 & 0.37620 \\ 19 & 0.37670 \\ 21 & 0.37900 \\ 22 & 0.37510 \\ 23 & 0.37880 \\ 26 & 0.38000 \\ 29 & 0.37610 \\ 30 & 0.37840 \end{array}


역사

 

 

메모

 

관련된 항목들


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사전 형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트


관련도서

  • Hans Rademacher, 'Decimal Fractions' from the book 'Higher mathematics from elementary point of view'