슈테판-볼츠만 법칙

중심이항계수

• 중심이항계수(central binomial coefficient)
  
• 로그 사인 적분 (log sine integrals) 의 결과를 이용
  

\[\zeta(4) = \frac{36}{17} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}\]

(증명) 아크사인함수의 멱급수로부터 다음을 얻는다. \[2(\sin^{-1} x)^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}\] 이를 이용하여, 다음을 증명할 수 있다 \[I=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\binom{2n}{n}}=\int_{0}^{1/2}\int_{0}^{u}(\sin^{-1} x)^2\frac{dx}{x}\frac{du}{u}\]

한편 \[I=\int_{0}^{1/2}\int_{0}^{u}(\sin^{-1} x)^2\frac{dx}{x}\frac{du}{u}=2\int_{0}^{\pi/3}x\log^2(2\sin \frac{x}{2})\,dx=\frac{17\pi^4}{3240}\]

슈테판-볼츠만의 법칙

• 흑체의 온도와 복사 에너지의 관계에 대한 슈테판-볼츠만 법칙의 유도과정에는 \(\zeta(4)\) 의 계산이 등장함.
• 플랑크의 흑체 복사 적분

\[I(T)=\frac{8\pi h}{c^3}\int_0^\infty \frac{\nu^3}{ e^{\frac{h \nu}{kT}}-1} d \nu=\frac{8\pi^5k^4T^4}{15c^3h^3}\]

• 상수를 제외하면 다음과 같은 적분

\[\int_{0}^{\infty}\frac{x^3}{e^x-1}dx=\Gamma(4)\zeta(4)=\frac{\pi^4}{15}\]

• 더 일반적으로 다음과 같은 적분을 할 수 있음.

\[\int_{0}^{\infty}\frac{x^{n}}{e^x-1}dx=\int_{0}^{\infty}x^{n}(e^{-x}+e^{-2x}+e^{-3x}+e^{-4x}+e^{-5x}+\cdots)dx=\Gamma(n+1)\zeta(n+1)\]\[\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-kx}dx=\frac{\Gamma(n+1)}{k^{n+1}}\]

• 푸리에 변환 항목의 멜린변환 참조
  

메모

• 자코비 세타함수 를 이용하여 리만제타함수와 리만가설를 해석적으로 확장하는 것과의 유사성\[\xi(s) : = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)= \int_0^\infty (\frac{\theta(it)-1}{2})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}\]
  
• 슈테판-볼츠만 법칙을 유도하는 과정에서 나오는 적분의 경우\[\int_{0}^{\infty}\frac{1}{e^t-1}t^s\frac{dt}{t}=\int_{0}^{\infty}t^{s-1}(e^{-t}+e^{-2t}+e^{-3t}+e^{-4t}+e^{-5t}+\cdots)dt=\Gamma(s)\zeta(s)\]
  
• \(\psi(t)=i \cot \frac{t}{2}\) 로 두면, \[ \frac{\psi(it)-1}{2}=\frac{1}{e^t-1}\]\[\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {\frac {e^x + e^{-x}} {2}} {\frac {e^x - e^{-x}} {2}} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = i \cot ix \]

\[\int_{0}^{\infty}(\frac{\coth t/2-1}{2})t^s\frac{dt}{t}=\Gamma(s)\zeta(s)\] \[\int_{0}^{\infty}(\frac{\coth t-1}{2})t^s\frac{dt}{t}=2^{-s}\Gamma(s)\zeta(s)\]

역사

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

관련된 항목들

• 양자 조화진동자
• 감마함수
  
• 로그 사인 적분 (log sine integrals)
  
• 베르누이 수와 베르누이 다항식
  
• 자코비 세타함수
  
• 코탄젠트
  
• 푸리에 변환
  

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/슈테판-볼츠만_법칙
• http://en.wikipedia.org/wiki/Stefan-Boltzmann_law
• http://en.wikipedia.org/wiki/Planck's_law
• http://en.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Boltzmann
• http://en.wikipedia.org/wiki/Bose-Einstein_distribution

리뷰, 에세이, 강의노트

• Cardy, John. “The Ubiquitous ‘c’: From the Stefan-Boltzmann Law to Quantum Information.” Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment 2010, no. 10 (October 7, 2010): P10004. doi:10.1088/1742-5468/2010/10/P10004.

관련논문

• On an Intriguing Integral and Some Series Related to ζ(4)
  • David Borwein and Jonathan M. Borwein, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 123, No. 4 (Apr., 1995), pp. 1191-1198
• Note on the Bose-Einstein Integral Functions
  • John E. Robinson, Phys. Rev. 83, 678 - 679 (1951)